Question

在平面直角坐标系中，有一个以和为焦点、离心率为的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与轴的交点分别为A、B，且向量。求：

（Ⅰ）点M的轨迹方程；      （Ⅱ）的最小值。

Answer 1

（Ⅰ） + =1 (x>1,y>2)；（Ⅱ）||的最小值为3.

解析:

（Ⅰ）椭圆方程可写为: + =1   式中a>b>0 , 且  得a²=4,b²=1,所以曲线C 的方程为:  x²+ =1 (x>0,y>0).

 y=2(0<x<1) y '=－

设P(x₀,y₀),因P在C上,有0<x₀<1, y₀=2,

 y '|_x=x0= － ,得切线AB的方程为: y=－ (x－x₀)+y₀ .

 设A(x,0)和B(0,y),由切线方程得 x= , y= .

由= +得M的坐标为(x,y), 由x₀,y₀满足C的方程,

得点M的轨迹方程为: + =1 (x>1,y>2)

 (Ⅱ)| |²= x²+y²,  y²= =4+ ,

∴| |²= x²－1++5≥4+5=9.且当x²－1= ,即x=>1时,上式取等号.

故||的最小值为3.