Question

5．设函数f（x）=x+ax²+blnx，曲线y=f（x）过P（1，0），且在P点处的切线斜率为2．
（1）求a，b的值；
（2）当x∈[1，e]时，求f（x）的最值；
（3）证明：f（x）≤2x-2．

Answer 1

分析 （1）求得函数的导数，由题意可得f（1）=0，f′（1）=2，解方程可得a，b的值；
（2）求得导数，求得极值点，求出端点处的函数值，可得最值；
（3）构造函数g（x）=f（x）-（2x-2）=2-x-x²+3lnx，求出导数和单调区间，可得极值和最值，即可证得不等式．

解答 解：（1）函数f（x）=x+ax²+blnx的导数为${f}^{′}（x）=1+2ax+\frac{b}{x}$．
由已知条件得$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=0}\\{{f}^{′}（1）=2}\end{array}\right.即\left\{\begin{array}{l}{1+a=0}\\{1+2a+b=2}\end{array}\right.$，
解得 a=-1，b=3．
（2）f（x）的定义域为（0，+∞），由（1）知f（x）=x-x²+3lnx．
令 f′（x）=0解得 $x=\frac{3}{2}，x=-1$．

x	$[1，\frac{3}{2}）$	$\frac{3}{2}$	$（\frac{3}{2}，e]$
f′（x）	+	0	-
f（x）	增		减

当x=$\frac{3}{2}$时，取得最大值 $f（\frac{3}{2}）=3ln\frac{3}{2}-\frac{3}{4}$；
当x=e时，取得最小值 f（e）=e-e²+3．
（3）设g（x）=f（x）-（2x-2）=2-x-x²+3lnx，
${g}^{′}（x）=-1-2x+\frac{3}{x}=-\frac{（x-1）（2x+3）}{x}$，
当0＜x＜1时，g′（x）＞0，当x＞1时，g′（x）＜0，
则g（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减．
即有x=1处取得极大值，且为最大值0
故当x＞0时，g（x）≤0，
即f（x）≤2x-2．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查构造函数的思想方法证明不等式，属于中档题．