Question

（2013•郑州一模）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=2a，D，E分别为AC，AB的中点，沿DE将△ADE折起，得到如图所示的四棱锥A′-BCDE．
（Ⅰ）在棱A′B上找一点F，使EF∥平面A′CD•
（Ⅱ）求四棱锥A′-BCDF体积的最大值．

Answer 1

分析：（I）取A'C的中点G，连结DG，EF，GF，则由中位线定理及平行四边形判定定理可得四边形DEFG是平行四边形，进而可得EF∥DG，由线面平行的判定定理可得F为棱A'B的中点时，EF∥平面A'CD．
（II）在平面A'CD内作A'H⊥CD于点H，可得A'H就是四棱锥A'-BCDE的高，进而可得点H和D重合时，四棱锥A'-BCDE的体积取最大值．

解答：解：（I）F为棱A'B的中点．理由如下：
取A'C的中点G，连结DG，EF，GF，
则由中位线定理得DE∥BC，DE=

1

2

BC，且GF∥BC，GF=

1

2

BC．
所以DE∥GF，DE=GF，从而四边形DEFG是平行四边形，
EF∥DG．
又EF?平面A'CD，DG?平面A'CD，
故F为棱A'B的中点时，
EF∥平面A'CD．----（6分）
（II）在平面A'CD内作A'H⊥CD于点H，

DE⊥A′D DE⊥CD A′D∩CD=D

⇒DE⊥平面A′CD⇒A′H⊥DE，
又DE∩CD=D，
∴A'H⊥底面BCDE，即A'H就是四棱锥A'-BCDE的高．
由A'H≤AD知，点H和D重合时，四棱锥A'-BCDE的体积取最大值．----（10分）
此时V四棱锥A′-BCDE=

1

3

S梯形BCDE•AD=

1

3

×

1

2

(a+2a)a•a=

1

2

a3，
故四棱锥A'-BCDE体积的最大值为

1

2

a3．-----（12分）

点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，棱锥的体积，其中解答（I）的关键是熟练掌握线面平行的判定定理，（II）的关键是分析出点H和D重合时，四棱锥A'-BCDE的体积取最大值．