Question

（1）(x

x

+

1

3 x

)n的展开式奇数项的二项式系数之和为128，求展开式中二项式系数最大项；
（2）求（1-x³）（1+x）¹⁰的展开式中x⁵的系数．

Answer 1

分析：（1）利用展开式的二项式系数性质列出方程求出n，利用二项展开式的二项式系数的性质中间项的二项式系数最大，再利用二项展开式的通项公式求出展开式中二项式系数最大项．
（2）先将多项式展开，分析可得（1-x³）（1+x）¹⁰展开式中的x⁵的系数是（1+x）¹⁰的展开式中的x⁵的系数减去（1+x）¹⁰的x²的系数，利用二项式定理可得（1+x）¹⁰展开式的含x⁵的系数与含x²的系数，相减可得答案．

解答：解：（1）由已知得C_n¹+C_n³+C_n⁵+…=128，
∴2^n-1=128
∴n=8，
而展开式中二项式
系数最大项是T₅=

C

4 8

(x

x

)4(

1

3 x

)4=70x4

3	x2

．
（2）：（1-x³）（1+x）¹⁰=（1+x）¹⁰-x³（1+x）¹⁰
则（1-x³）（1+x）¹⁰展开式中的x⁵的系数是（1+x）¹⁰的展开式中的x⁵的系数减去（1+x）¹⁰的x²的系数，
由二项式定理，（1+x）¹⁰的展开式的通项为T_r+1=C₁₀^rx^r
令r=5，得（1+x）¹⁰展开式的含x⁵的系数为C₁₀⁵，
令r=2，得其展开式的含x²的系数为C₁₀²
则x⁵的系数是C₁₀⁵-C₁₀²=252-45=207

点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题；本题考查二项式系数的性质．