Question

已知(x

x

+

1

3 x

)n的展开式中，前三项的二项式系数之和为37．
（1）求x的整数次幂的项；
（2）展开式中第几项的二项式系数大于相邻两项的二项式系数，并证明你的结论．

Answer 1

（1）(x

x

+

1

3 x

)n展开式的前三项的二项式系数之和为
C_n⁰+C_n¹+C_n²=37
解得n=8
∴(x

x

+

1

3 x

)n=(x

x

+

1

3 x

)8的展开式的通项为
Tr+1=

C

r8

 (x

x

)8-r(

1

3 x

)r=

C

r8

x12-

11r

6

当r=0，6时，x的指数为整数
∴x的整数次幂的项有x¹²，28x
（2）展开式共有9项
据展开式中间项的二项式系数最大
故展开式第5项的二项式系数大于相邻两项的二项式系数
证明：∵展开式第5项的二项式系数为

C

48

=

8×7×6×5

1×2×3×4

=70
展开式第4项的二项式系数为C₈³
展开式第6项的二项式系数为C₈⁵
∵

C

58

=

C

38

=

8×7×6

1×2×3

=56＜70
故有展开式中第5项的二项式系数大于相邻两项的二项式系数．