题目内容
(本小题满分12分)如图,斜三棱柱
,已知侧面
与底面ABC垂直且∠BCA =90°,∠
,
=2,若二面角
为30°. (Ⅰ)证明
;
(Ⅱ)求与平面
所成角的正切值;
(Ⅲ)在平面内找一点P,使三棱锥
为正三棱锥,并求P到平面
距离.
(Ⅰ) 略 (Ⅱ) (Ⅲ)
解析:
(1) 面面
,因为面
面
=
,
,
所以面
.
(2)取中点
,连接
,在
中,
是正三角形,
,又
面
且
面
,
,即
即为二面角
的平面角为30°,
面
,
,在
中,
,
又面
,
即
与面
所成的线面角,
在中,
(3)在上取点
,使
,则因为
是
的中线,
是
的重
心,在中,过
作
//
交
于
,
面
,
//
面
,即
点在平面
上的射影是
的中心,该点即为所求,且
,
.

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