题目内容

设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）为椭圆 $数学公式$ 上两个不同的动点，圆O的方程为x²+y²=a²．
（1）如图，若向圆O内随机投一点A，点A落在椭圆C的概率为 $数学公式$ ，椭圆C上的动点到其焦点的最近距离为 $数学公式$ ．椭圆C的面积为πab．
（i）求椭圆C的标准方程；
（ii）若点B（0，1）且 $数学公式$ ，求直线OP的低斜率；
（2）若直线OP和OQ的斜率之积为 $数学公式$ ，请探点M（x₁，x₂）与圆O的位置关系，并说明理由．

解：（1）（i）由已知得 $\text{[math]}$ ，又a²=b²+c²，解得a=2，b=1，
∴椭圆C的方程为 $\text{[math]}$ ．
（ii）由 $\text{[math]}$ ，得（-x₂，1-y₂）=（x₁，y₁），
∴ $\text{[math]}$ ，
结合圆的对称性知点P，Q关于y轴对称且PQ的中点坐标为（0， $\text{[math]}$ ），
故直线PQ的方程为 $\text{[math]}$ ，从而得 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．
（2）由题意知直线OP的斜率存在，设其方程为y=kx，
代入 $\text{[math]}$ ，整理，得 $\text{[math]}$ ①
由 $\text{[math]}$ ，用 $\text{[math]}$ 代替①中的k，得
$\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ =a²，
∴点M（x₁，x₂）在圆O：x²+y²=a²上．
分析：（1）（i）由已知得 $\text{[math]}$ ，又a²=b²+c²，由此能得到椭圆C的方程．
（ii）由 $\text{[math]}$ ，得（-x₂，1-y₂）=（x₁，y₁），所以 $\text{[math]}$ ，结合圆的对称性知点P，Q关于y轴对称且PQ的中点坐标为（0， $\text{[math]}$ ），由此能求出直线OP的斜率．
（2）设OP方程为y=kx，代入 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，由 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ =a²，由此知点M（x₁，x₂）在圆O：x²+y²=a²上．
点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．

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给出下列四个命题：①函数f(x)=3sin(2x-

)的图象关于点(-

，0)对称；②若a≥b＞-1，则

；③存在实数x，使x³+x²+1=0；④设P（x₁，y₁）为圆O₁：x²+y²=9上任意一点，圆O₂：（x-a）²+（y-b）²=1，当（x₁-a）²+（y₁-b）²=1时，两圆相切．其中正确命题的序号是

．（把你认为正确的都填上）

设P（x₁，y₁）为圆O₁：x²+y²=9上任意一点，圆O₂以Q（a，b）为圆心且半径为1，当（a-x₁）²+（b-y₁）²=1时，圆O₁与圆O₂的位置关系可能是

．（填上你认为正确的序号）
①外离； ②外切； ③相交； ④内切； ⑤内含．

已知函数f（x）=

-x2+x，(x≤1)

，
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）是函数f（x）图象上的两点且x₁＜1，x₂＞1，若直线PQ是函数f（x）图象的切线且P、Q都是切点，求证：3＜x₂＜4；（参考数据：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986）
（Ⅲ）设函数g（x）的定义域为D，区间I⊆D，若函数g（x）在I上可导，对任意的x₀∈I，g（x）的图象在（x₀，g（x₀））处的切线为l，函数g（x）图象上所有的点都在直线l上方或直线l上，则称区间I为函数g（x）的“下线区间”．类比上面的定义，请你写出函数“上线区间”的定义，并根据你所给的定义，判断区间（-∞，

）是否是函数f（x）的“上线区间”（不必证明）．

设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）是抛物线C：y²=2px（p＞0）上相异两点，且

=0，直线PQ 与x 轴相交于E．
（Ⅰ）若P，Q 到x 轴的距离的积为4，求p的值；
（Ⅱ）若p为已知常数，在x 轴上，是否存在异于E 的一点F，使得直线PF 与抛物线的另一交点为R，而直线RQ 与x 轴相交于T，且有

，若存在，求出F 点的坐标（用p 表示），若不存在，说明理由．

设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）为椭圆C：

=1(a＞b＞0)上两个不同的动点，圆O的方程为x²+y²=a²．
（1）如图，若向圆O内随机投一点A，点A落在椭圆C的概率为

，椭圆C上的动点到其焦点的最近距离为2-

．椭圆C的面积为πab．
（i）求椭圆C的标准方程；
（ii）若点B（0，1）且

，求直线OP的低斜率；
（2）若直线OP和OQ的斜率之积为

，请探点M（x₁，x₂）与圆O的位置关系，并说明理由．