题目内容

已知函数f（x）=ax-lnx+1（a∈R），g（x）=xe^1-x．
（1）求函数g（x）在区间（0，e]上的值域T；
（2）是否存在实数a，对任意给定的集合T中的元素t，在区间[1，e]上总存在两个不同的x_i（i=1，2），使得f（x_i）=t成立、若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由；
（3 ）函数f（x）图象上是否存在两点A（x₁，y₁）和B（x₂，y₂），使得割线AB的斜率恰好等于函数f（x）在AB中点M（x₀，y₀）处切线的斜率？请写出判断过程．

解：（1）∵g′（x）=e^1-x-xe^1-x=e^1-x（1-x），
∴g（x）在区间（0，1]上单调递增，在区间[1，e）上单调递减，
且g（0）=0，g（1）=1＞g（e）=e^2-e，
∴g（x）的值域T为（0，1]．
（2）则由（1）可得t∈（0，1]，
原问题等价于：对任意的t∈（0，1]，f（x）=t在[1，e]上总有两个不同的实根，
故f（x）在[1，e]不可能是单调函数，
∵ $\text{[math]}$ ，（1≤x≤e）， $\text{[math]}$ ，
当a≥1时，f′（x）＞0，f（x）在区间[1，e]上单调递增，不合题意．
当a $\text{[math]}$ 时，f′（x）＜0，f（x）在区间[1，e]上单调递减，不合题意．
当1＜ $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ 时，f（x）在区间[1， $\text{[math]}$ ]上单调递减；f（x）在区间[ $\text{[math]}$ ]上单递增，
由上可得a∈（ $\text{[math]}$ ），此时必有f（x）的最小值小于等于0，
且f（x）的最大值大于等于1，
而由f（x）_min=f（ $\text{[math]}$ ）=2+lna≤0，
可得a $\text{[math]}$ ，则a∈∅．
综上，满足条件的a不存在．
（3）k_AB= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
=a- $\text{[math]}$ ，
而 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =a- $\text{[math]}$ ，
故有 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
令t= $\text{[math]}$ ，
则上式化为 $\text{[math]}$ ，
令F（t）=lnt+ $\text{[math]}$ -2，
则由 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ＞0，
可得F（t）在（0，1）上单调递增，
故F（t）＜F（1）=0，即方程lnt+ $\text{[math]}$ 无解，
所以函数f（x）图象上是不存在两点A（x₁，y₁）和B（x₂，y₂），
使得割线AB的斜率恰好等于函数f（x）在AB中点M（x₀，y₀）处切线的斜率．
分析：（1）由g′（x）=e^1-x-xe^1-x=e^1-x（1-x），知g（x）在区间（0，1]上单调递增，在区间[1，e）上单调递减，由此能求出g（x）的值域T．
（2）则由（1）可得t∈（0，1]，原问题等价于：对任意的t∈（0，1]，f（x）=t在[1，e]上总有两个不同的实根，
故f（x）在[1，e]不可能是单调函数，由此能推导出满足条件的a不存在．
（3）k_AB= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =a- $\text{[math]}$ ，而 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =a- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，由此能推导出函数f（x）图象上是不存在两点A（x₁，y₁）和B（x₂，y₂），使得割线AB的斜率恰好等于函数f（x）在AB中点M（x₀，y₀）处切线的斜率．
点评：本题考查函数的值域的求法，探索是否存在满足条件的实数，探索函数图象上满足条件的两点是否存在．综合性强，难度大，对数学思维能力要求较高，有一定的探索性．