题目内容

设x、y∈R，在直角坐标平面内，
a
=(x，y+
3
)，
b
=(x，y-
3
)且|
a
|+|
b
|=4．设点M（x，y）的轨迹为C．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）设直线y=kx+1与C交于A、B两点，k为何值时
OA
⊥
OB
？此时|
AB
|的值是多少？
分析：（Ⅰ）根据|
a
|+|
b
|=4，可判断曲线C为椭圆，欲求 轨迹C的方程，只需求出椭圆的长半轴长，短半轴长，由
a
=(x，y+
3
)，
b
=(x，y-
3
)，|
a
|+|
b
|=4求出a，b即可．
（Ⅱ）设A（x1，y1）、B（x2，y2），则A，B两点为直线y=kx+1与椭圆交点，可用两曲线方程联立，求x1x2+y1y2，再根据
OA
⊥
OB
时，x1x2+y1y2=0，就可求出k只，再用弦长公式求|
AB
|．
解答：解：（Ⅰ）∵|
a
|+|
b
|=4，
∴
x2+(y+
3
)2
+
x2+(y-
3
)2
=4，
它表示以点F1(0，-
3)
、F2(0，
3)
的椭圆，其方程为x2+
y2
4
=1，这就是所求C的方程．
（Ⅱ设直线y=kx+1与C交于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，
由
y=kx+1
x2+
y2
4
=1
消去y得4x2+（kx+1）2=4，整理得（4+k2）x2+2kx-3=0
其△=（2k）2+12（4+k2）＞0恒成立．
由韦达定理得x1+x2=-
2k
4+k2
，x1x2=-
3
4+k2
．
则y1y2=（kx1+1）（kx2+1）=k2x1x2+k（x1+x2）+1=-
3k2
4+k2
-
2k2
4+k2
+1=
4-4k2
4+k2
，
|x1-x2|=
(x1+x2)2-4x1x2
=
4
k2+3
4+k2

由
OA
⊥
OB
得，x1x2+y1y2=0，即-
3
4+k2
+
4-4k2
4+k2
=0，
解得k=±
1
2
，
此时|
AB
|=
1+k2
|x1-x2|=
4
65
17
．
．综上得，当k=±
1
2
时，
OA
⊥
OB
，此时|
AB
|的值是
4
65
17
．
点评：本题考查了定义法求椭圆方程，以及只限于椭圆位置关系的判断，注意设而不求思想的应用．
练习册系列答案
相关题目
在平面直角坐标系xOy中，设不等式组
-1≤x≤2
0≤y≤2
所表示的平面区域是W，从区域W中随机取点M（x，y）．
（Ⅰ）若x，y∈Z，求点M位于第一象限的概率；
（Ⅱ）若x，y∈R，求|OM|≤2的概率．
设全集U={（x，y）|x，y∈R}，集合A={（x，y）|xsinα+ycosα-2=0，α∈R}，则在直角平面上集合CuA内所有元素的对应点构成的图形的面积等于
4π
4π
．

设x，y∈R，，为直角坐标系平面内x轴、y轴正方向上的单位向量，若向量＝x＋(y＋)，＝x＋(y－)，且||＋||＝4．

(1)求点M(x，y)的轨迹C的方程；

(2)若轨迹C上在第一角限的一点P的横坐标为1，斜率为的直线l与轨迹C交于不同两点A、B，求△PAB面积的最大值．
设全集U={（x，y）|x，y∈R}，集合A={（x，y）|xsinα+ycosα-2=0，α∈R}，则在直角平面上集合CuA内所有元素的对应点构成的图形的面积等于    ．
在平面直角坐标系xOy中，设不等式组所表示的平面区域是W，从区域W中随机取点M（x，y）．
（Ⅰ）若x，y∈Z，求点M位于第一象限的概率；
（Ⅱ）若x，y∈R，求|OM|≤2的概率．

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