Question

设全集U={（x，y）|x，y∈R}，集合A={（x，y）|xsinα+ycosα-2=0，α∈R}，则在直角平面上集合C_uA内所有元素的对应点构成的图形的面积等于

4π

．

Answer 1

分析：利用点到直线的距离公式求出原点到集合A中直线xsinα+ycosα-2=0的距离d，发现d为定值，故集合A表示原点到这条直线距离为2的直线系中的直线上的点，全集为平面直角坐标系中的所有点，根据补集的意义可知：集合A的补集表示以原点为圆心，2为半径的圆内部的点，利用圆的面积公式即可求出在直角平面上集合C_uA内所有元素的对应点构成的图形的面积．

解答：解：∵原点（0，0）到直线xsinα+ycosα-2=0的距离d=

2

sin2α+cos2α

=2，
∴集合A表示原点到直线距离为2的直线系中的直线，如下图所示：

又全集U={（x，y）|x，y∈R}，
∴在直角平面上集合C_uA内所有元素的对应点构成的图形为半径是2的圆，
则此图形的面积为4π．
故答案为：4π

点评：此题考查了补集及其运算，涉及的知识有：点到直线的距离公式，同角三角函数间的基本关系，其中根据题意得出在直角平面上集合C_uA内所有元素的对应点构成的图形为一个圆是解本题的关键．