题目内容
已知函数f（x）=-1+2
sinxcosx+2cos2x．
（1）求f（x）的单调递减区间；
（2）求f（x）图象上与原点最近的对称中心的坐标；
（3）若角α，β的终边不共线，且f（α）=f（β），求tan（α+β）的值．
| 3 |
（1）求f（x）的单调递减区间；
（2）求f（x）图象上与原点最近的对称中心的坐标；
（3）若角α，β的终边不共线，且f（α）=f（β），求tan（α+β）的值．
分析：（1）利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式为2sin（2x+
），由2kπ+
≤2x+
≤2kπ+
（k∈Z），求得x的范围，即可求得f（x）的单调递减区间．
（2）由sin（2x+
）=0，求得2x+
=kπ（k∈Z），解得x的值，可得 f（x）图象上与原点最近的对称中心的坐标．
（3）由题意可得2sin（2α+
）=2sin（2β+
），故2α+
+2β+
=2kπ+π，k∈z，由此求得 α+β 的值，可得 tan（α+β ）的值．
| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
| π |
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| 3π |
| 2 |
（2）由sin（2x+
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
（3）由题意可得2sin（2α+
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
解答：解：（1）∵f（x）=
sin2x+cos2x=2sin（2x+
），由2kπ+
≤2x+
≤2kπ+
（k∈Z），
求得kπ+
≤x≤kπ+
（k∈Z），∴f（x）的单调递减区间为[kπ+
，kπ+
]（k∈Z）．
（2）由sin（2x+
）=0，求得2x+
=kπ（k∈Z），即x=
-
（k∈Z），
∴f（x）图象上与原点最近的对称中心的坐标是（-
，0）．
（3）若角α，β的终边不共线，且f（α）=f（β），
∴2sin（2α+
）=2sin（2β+
），
∴2α+
+2β+
=2kπ+π，k∈z，∴α+β=kπ+
，故 tan（α+β ）=
．
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| π |
| 6 |
| π |
| 2 |
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| 3π |
| 2 |
求得kπ+
| π |
| 6 |
| 2π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| 2π |
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（2）由sin（2x+
| π |
| 6 |
| π |
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| kπ |
| 2 |
| π |
| 12 |
∴f（x）图象上与原点最近的对称中心的坐标是（-
| π |
| 12 |
（3）若角α，β的终边不共线，且f（α）=f（β），
∴2sin（2α+
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
∴2α+
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
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点评：本题主要考查利用三角恒等变换进行化简求值，复合三角函数的单调性与对称性，属于中档题．
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}的前n项和为Sn，则S2010的值为（ ）
| 1 |
| f(n) |
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|