Question

定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．
举例：f（x）=x，D=[-3，2]，则对任意x∈D，|f（x）|≤3，根据上述定义，f（x）=x在[-3，2]上为有界函数，上界可取3，5等等．
已知函数f（x）=1+a•2^x+4^x，g（x）=

1-2x

1+2x

．
（1）当a=1时，求函数f（x）在（0，+∞）上的值域，并判断函数f（x）在（0，+∞）上是否为有界函数，请说明理由；
（2）求函数g（x）在[0，1]上的上界T的取值范围；
（3）若函数f（x）在（-∞，0]上是以3为上界的函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设t=2^x，则t∈（1，+∞），求关于t的函数y=t²+t+1的值域，从而可判断函数是否为有界函数；
（2）设t=2^x，则t∈[1，2]，求关于t的函数y=

1-t

1+t

的值域，根据|f（x）|≤T恒成立，求出T的范围；
（3）设t=2^x，则t∈（0，1]，不等式|f（x）|≤3恒成立?|1+at+t²|≤3，分类讨论求a的范围．

解答：解：（1）当a=1时，f（x）=1+2^x+4^x，
设t=2^x，x∈（0，+∞），∴t∈（1，+∞），
y=t²+t+1，值域为（3，+∞），
不存在正数M，使x∈（0，+∞）时，|f（x）|≤M成立，
即函数在x∈（0，+∞）上不是有界函数．
（2）设t=2^x，t∈[1，2]，
y=

1-t

1+t

=

2

1+t

-1在t∈[1，2]上是减函数，值域为[

1

3

，0]，
要使|f（x）|≤T恒成立，即：T≥

1

3

；
（3）由已知x∈（-∞，0]时，不等式|f（x）|≤3恒成立，即：|1+a×2^x+4^x|≤3，
设t=2^x，t∈（0，1]，不等式化为|1+at+t²|≤3，
当0＜

a

2

≤1即：-2≤a＜0时，1-

1

4

a²≥-3且2+a≤3，得：-2≤a＜0；
当-

a

2

≤0或-

a

2

≥1即：a≥0或a≤-2时，-3≤2+a≤3，得-5≤a≤-2或0≤a≤1，
综上，-5≤a≤1．

点评：本题考查了与函数性质有关的新定义问题，考查了换元法求函数的值域，综合性强，涉及知识面广，难度较大．