Question

定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．
已知函数f（x）=1+a•（

1

2

）^x+（

1

4

）^x；g（x）=

1-m•x2

1+m•x2

（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）值域并说明函数f（x）在（-∞，0）上是否为有界函数？
（Ⅱ）若函数f（x）在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）已知m＞-1，函数g（x）在[0，1]上的上界是T（m），求T（m）的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）将a=1代入f（x）可得f(x)=1+(

1

2

)x+(

1

4

)x，利用指数函数的单调性判断出f（x）在（-∞，0）上是单调递减函数，即可求得f（x）＞f（0），从而得到f（x）的值域，根据有界函数函数的定义，即可判断出f（x）不是有界函数；
（Ⅱ）根据有界函数的定义，可得|f（x）|≤3在[0，+∞）上恒成立，利用参变量分离转化为-4•2x-(

1

2

)x≤a≤2•2x-(

1

2

)x在[0，+∞）上恒成立，令t=2^x，则h(t)=-4t-

1

t

，p(t)=2t-

1

t

，问题转化为求h（t）的最大值和p（t）最小值，利用函数单调性的定义，分别判断出函数h（t）和p（t）的单调性，即可求得最值，从容求得a的取值范围．
（Ⅲ）将函数g（x）=

1-m•x2

1+m•x2

变形为g（x）=-1+

2

m•x2+1

，对参数m进行分类讨论，当m＞0时，确定函数g（x）的单调性，根据单调性可得g（x）的取值范围，从而确定|g（x）|的范围，利用有界函数的定义，转化为|g（x）|≤T（m）任意x∈[0，1]恒成立，利用所求得的g（x）的范围，即可求得T（m）的取值范围，同理研究当m=0和当-1＜m＜0时的情况，综上所求范围，即可求得T（m）的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=1+a•（

1

2

）^x+（

1

4

）^x，
∴当a=1时，f(x)=1+(

1

2

)x+(

1

4

)x，
∵y=(

1

4

)x和y=(

1

2

)x在R上是单调递减函数，
∴f（x）在R上是单调递减函数，
∴f（x）在（-∞，0）上是单调递减函数，
∴f（x）＞f（0）=3，
∴f（x）在（-∞，0）的值域为（3，+∞），
∴|f（x）|＞3，
故不存在常数M＞0，使|f（x）|≤M成立，
∴函数f（x）在（-∞，0）上不是有界函数；
（Ⅱ）∵函数f（x）在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，
∴由题意知，|f（x）|≤3在[0，+∞）上恒成立，
∴-3≤f（x）≤3在[1，+∞）上恒成立，
∴-4-(

1

4

)x≤a•(

1

2

)x≤2-(

1

4

)x在[0，+∞）上恒成立，
∴-4•2x-(

1

2

)x≤a≤2•2x-(

1

2

)x在[0，+∞）上恒成立，
∴[-4•2x-(

1

2

)x]max≤a≤[2•2x-(

1

2

)x]min，
令t=2^x，由x∈[0，+∞），可得t≥1，
∴h(t)=-4t-

1

t

，p(t)=2t-

1

t

，
下面判断函数h（t）和p（t）的单调性：
设1≤t₁＜t₂，则t₂-t₁＞0，4t₁t₂-1＞0，t₁t₂＞0，2t₁t₂+1＞0，
∴h(t1)-h(t2)=

(t2-t1)(4t1t2-1)

t1t2

＞0，
p(t1)-p(t2)=

(t1-t2)(2t1t2+1)

t1t2

＜0，
∴h（t₁）＞h（t₂），p（t₁）＜p（t₂），
∴h（t）在[1，+∞）上递减，p（t）在[1，+∞）上递增
∴h（t）在[1，+∞）上的最大值为h（1）=-5，
p（t）在[1，+∞）上的最小值为p（1）=1，
∴-5≤a≤1，
∴实数a的取值范围为[-5，1]；
（Ⅲ）g（x）=

1-m•x2

1+m•x2

=-1+

2

m•x2+1

，
①当m＞0时，x∈[0，1]，
∵y=m•x²+1在[0，1]上单调递增，
∴g（x）在[0，1]上递减，
∴g（1）≤g（x）≤g（0），即

1-m

1+m

≤g(x)≤1，
∵|

1-m

1+m

|＜1，
∴|g（x）|＜1，
∵函数g（x）在[0，1]上的上界是T（m），由有界函数的定义可得，
|g（x）|≤T（m）任意x∈[0，1]恒成立，
∴T（m）≥1；
②当m=0时，g（x）=1，|g（x）|=1，
∵函数g（x）在[0，1]上的上界是T（m），由有界函数的定义可得，
|g（x）|≤T（m）任意x∈[0，1]恒成立，
∴T（m）≥1；
③当-1＜m＜0时，x∈[0，1]，
∵y=m•x²+1在[0，1]上单调递减，
∴g（x）在[0，1]上递增，
∴g（0）≤g（x）≤g（1），即1≤g(x)≤

1-m

1+m

，
∴|g(x)|＜

1-m

1+m

，
∵函数g（x）在[0，1]上的上界是T（m），由有界函数的定义可得，
|g（x）|≤T（m）任意x∈[0，1]恒成立，
∴T(m)≥

1-m

1+m

．
综合①②③，当m≥0时，T（m）的取值范围是[1，+∞），
当-1＜m＜0时，T（m）的取值范围是[

1-m

1+m

，+∞)．

点评：本题考查了函数的恒成立问题，函数的最值的应用．对于函数的恒成立问题，一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法进行求解．本题选用了参变量分离的方法转化成求最值问题．本题涉及了函数的求最值和值域问题，解题中主要运用了函数的单调性求解最值和值域．对于本题中的新定义问题，要严格按照题中所给定义分析，将陌生的问题转化为所熟悉的问题，本题转化为恒成立问题．属于难题．