题目内容

已知圆C过点P(1,1),且与圆M:(x+2)2+(y+2)2=r2(r>0)关于x+y+2=0对称.
(Ⅰ)求圆C的方程;
(Ⅱ)过点(
2
,2)作圆C的切线,求切线的方程;
(Ⅲ)过点P作两条相异直线分别与圆C相交A,B两点,设直线PA和直线PB的斜率分别为k,-k,O为坐标原点,试判断直线OP和直线AB是否平行?请说明理由.
分析:(I)设圆心C(a,b),则点C与圆M的圆心M(-2,-2)关于直线x+y+2=0对称.可得
a-2
2
+
b-2
2
+2=0
b+2
a+2
=1
,解出可得a,b,利用r=|CP|即可;
(II)当切线的斜率存在时,设切线方程为y=k(x-
2
)+2
,利用圆心C到切线的距离d=r可得
|2-
2
k|
1+k2
=
2
,解得k即可;
当切线的斜率不存在时,切线存在且方程为x=
2

(III)由题意知,直线PA和直线PB的斜率存在,且互为相反数.则直线PA的方程为:y-1=k(x-1),直线PB的方程为:y-1=-k(x-1),
分别与⊙C的方程联立可得xA,xB,利用向量计算公式可得kAB=
yB-yA
xB-xA
=
-k(xB-1)-k(xA-1)
xB-xA
=
2k-k(xB+xA)
xB-xA
与比较kOP=1即可.
解答:解:(Ⅰ)设圆心C(a,b),则点C与圆M的圆心M(-2,-2)关于直线x+y+2=0对称.
a-2
2
+
b-2
2
+2=0
b+2
a+2
=1
,解得
a=0
b=0

则圆C的方程为x2+y2=r2,将点P的坐标代入得r2=2,
故圆C的方程为x2+y2=2.
(Ⅱ)当切线的斜率存在时,设切线方程为y=k(x-
2
)+2
,则
|2-
2
k|
1+k2
=
2
,解得k=
2
4

∴切线方程为y=
2
4
x+
3
2

当切线的斜率不存在时,切线方程为x=
2

∴切线的方程为y=
2
4
x+
3
2
x=
2

(Ⅲ)由题意知,直线PA和直线PB的斜率存在,且互为相反数,
则直线PA的方程为:y-1=k(x-1),直线PB的方程为:y-1=-k(x-1),
y-1=k(x-1)
x2+y2=2
,得(1+k2)x2+2k(1-k)x+(1-k)2-2=0,
∵点P的横坐标1一定是该方程的解,故可得xA=
k2-2k-1
1+k2

同理,xB=
k2+2k-1
1+k2

∴xA+xB=
2k2-2
1+k2
xB-xA=
4k
1+k2

∴kAB=
yB-yA
xB-xA
=
-k(xB-1)-k(xA-1)
xB-xA
=
2k-k(xB+xA)
xB-xA
=1=kOP
∴直线AB和OP一定平行.
点评:本题综合考查了直线与圆的位置关系、相切转化为圆心到切线的距离等于半径、相交转化为方程联立得到根与系数的关系、斜率计算公式、点到直线的距离公式、点关于直线对称等基础知识与基本技能方法,属于难题.
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