题目内容
已知圆C过点P(1,1),且与圆M:(x+2)2+(y+2)2=r2(r>0)关于x+y+2=0对称.
(Ⅰ)求圆C的方程;
(Ⅱ)过点(
,2)作圆C的切线,求切线的方程;
(Ⅲ)过点P作两条相异直线分别与圆C相交A,B两点,设直线PA和直线PB的斜率分别为k,-k,O为坐标原点,试判断直线OP和直线AB是否平行?请说明理由.
(Ⅰ)求圆C的方程;
(Ⅱ)过点(
2 |
(Ⅲ)过点P作两条相异直线分别与圆C相交A,B两点,设直线PA和直线PB的斜率分别为k,-k,O为坐标原点,试判断直线OP和直线AB是否平行?请说明理由.
分析:(I)设圆心C(a,b),则点C与圆M的圆心M(-2,-2)关于直线x+y+2=0对称.可得
,解出可得a,b,利用r=|CP|即可;
(II)当切线的斜率存在时,设切线方程为y=k(x-
)+2,利用圆心C到切线的距离d=r可得
=
,解得k即可;
当切线的斜率不存在时,切线存在且方程为x=
.
(III)由题意知,直线PA和直线PB的斜率存在,且互为相反数.则直线PA的方程为:y-1=k(x-1),直线PB的方程为:y-1=-k(x-1),
分别与⊙C的方程联立可得xA,xB,利用向量计算公式可得kAB=
=
=
与比较kOP=1即可.
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(II)当切线的斜率存在时,设切线方程为y=k(x-
2 |
|2-
| ||
|
2 |
当切线的斜率不存在时,切线存在且方程为x=
2 |
(III)由题意知,直线PA和直线PB的斜率存在,且互为相反数.则直线PA的方程为:y-1=k(x-1),直线PB的方程为:y-1=-k(x-1),
分别与⊙C的方程联立可得xA,xB,利用向量计算公式可得kAB=
yB-yA |
xB-xA |
-k(xB-1)-k(xA-1) |
xB-xA |
2k-k(xB+xA) |
xB-xA |
解答:解:(Ⅰ)设圆心C(a,b),则点C与圆M的圆心M(-2,-2)关于直线x+y+2=0对称.
则
,解得
,
则圆C的方程为x2+y2=r2,将点P的坐标代入得r2=2,
故圆C的方程为x2+y2=2.
(Ⅱ)当切线的斜率存在时,设切线方程为y=k(x-
)+2,则
=
,解得k=
,
∴切线方程为y=
x+
,
当切线的斜率不存在时,切线方程为x=
,
∴切线的方程为y=
x+
或x=
.
(Ⅲ)由题意知,直线PA和直线PB的斜率存在,且互为相反数,
则直线PA的方程为:y-1=k(x-1),直线PB的方程为:y-1=-k(x-1),
由
,得(1+k2)x2+2k(1-k)x+(1-k)2-2=0,
∵点P的横坐标1一定是该方程的解,故可得xA=
,
同理,xB=
,
∴xA+xB=
,xB-xA=
.
∴kAB=
=
=
=1=kOP,
∴直线AB和OP一定平行.
则
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|
则圆C的方程为x2+y2=r2,将点P的坐标代入得r2=2,
故圆C的方程为x2+y2=2.
(Ⅱ)当切线的斜率存在时,设切线方程为y=k(x-
2 |
|2-
| ||
|
2 |
| ||
4 |
∴切线方程为y=
| ||
4 |
3 |
2 |
当切线的斜率不存在时,切线方程为x=
2 |
∴切线的方程为y=
| ||
4 |
3 |
2 |
2 |
(Ⅲ)由题意知,直线PA和直线PB的斜率存在,且互为相反数,
则直线PA的方程为:y-1=k(x-1),直线PB的方程为:y-1=-k(x-1),
由
|
∵点P的横坐标1一定是该方程的解,故可得xA=
k2-2k-1 |
1+k2 |
同理,xB=
k2+2k-1 |
1+k2 |
∴xA+xB=
2k2-2 |
1+k2 |
4k |
1+k2 |
∴kAB=
yB-yA |
xB-xA |
-k(xB-1)-k(xA-1) |
xB-xA |
2k-k(xB+xA) |
xB-xA |
∴直线AB和OP一定平行.
点评:本题综合考查了直线与圆的位置关系、相切转化为圆心到切线的距离等于半径、相交转化为方程联立得到根与系数的关系、斜率计算公式、点到直线的距离公式、点关于直线对称等基础知识与基本技能方法,属于难题.
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