题目内容

已知圆C过点P(1,1),且与圆M:(x+2)2+(y+2)2=r2(r>0)关于直线x+y+2=0对称.
(1)求圆C的方程;
(2)直线l过点Q(1,0.5),截圆C所得的弦长为2,求直线l的方程;
(3)过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A,B,且直线PA和直线PB的倾斜角互补,O为坐标原点,试判断直线OP和AB是否平行?请说明理由.
分析:(1)由已知中圆C过点P(1,1),且圆M:(x+2)2+(y+2)2=r2(r>0)关于直线x+y+2=0对称,我们可以求出圆C的方程,然后判断圆心距CM与两圆半径和与差的关系,即可得到答案.
(2)分直线l的斜率不存在和存在两种情况,根据直线截圆C的弦长等于2,分别求得直线l的方程.
(3)由已知中直线PA和直线PB与x轴分别交于点G、H,且∠PGH=∠PHG,可得直线PA和直线PB的斜率存在,且互为相反数,设PA:y-1=k(x-1),PB:y-1=-k(x-1),求出A,B坐标后,代入斜率公式,判断直线OP和AB是否相等,即可得到答案.
解答:解:(1)由题意可得点C和点M(-2,-2)关于直线x+y+2=0对称,且圆C和圆M的半径相等,都等于r.
设C(m,n),由
m+2
n+2
•(-1)=-1,且
m-2
2
+
n-2
2
+2=0
 求得
m=0
n=0

故原C的方程为 x2+y2=r2
再把点P(1,1)代入圆C的方程,求得r=
2
,故圆的方程为 x2+y2=2.
(2)直线l过点Q(1,0.5),当直线l的斜率不存在时,方程为x=1,截圆C得到的弦长等于2
r2-1
=2,满足条件.
当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-0.5=k(x-1),即 kx-y+0.5-k=0,则圆心C到直线l的距离d=
|0-0+0.5-k|
k2+1

再由弦长公式可得 2=2
r2-d2
,解得k=-
3
4
,故所求的直线方程为-
3
4
x-y+
1
2
+
3
4
=0,即 3x+4y-5=0.
综上可得,直线l的方程为 x=1,或 3x+4y-5=0.
(3)过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A,B,且直线PA和直线PB的倾斜角互补,O为坐标原点,
则得直线OP和AB平行,理由如下:
由题意知,直线PA和直线PB的斜率存在,且互为相反数,故可设PA:y-1=k(x-1),PB:y-1=-k(x-1).
y-1=k(x-1)
x2+y2=2
,得(1+k2)x2+2k(1-k)x+(1-k)2-2=0,
因为P的横坐标x=1一定是该方程的解,故可得xA=
k2-2k-1
1+k2
.…(12分)
同理,所以xB=
k2+2k-1
1+k2
,由于AB的斜率kAB=
yB-yA
xB-xA
=
-k(xB-1)-k(xA-1)
xB-xA
=
2k-k(yB+yA)
xB-xA
=1=kOP (OP的斜率),(15分)
所以,直线AB和OP一定平行.
点评:本题考查的知识点是直线和圆的方程的应用,点到直线的距离公式,关于直线对称的圆的方程,圆与圆位置关系及其判定,其中根据已知条件求出圆C的方程是解答本题的关键,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题.
练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网