题目内容

已知圆C过点P(1,1),且圆M:(x+2)2+(y+2)2=r2(r>0)关于直线x+y+2=0对称.
(1)判断圆C与圆M的位置关系,并说明理由;
(2)过点P作两条相异直线分别与⊙C相交于A,B.
①若直线PA和直线PB互相垂直,求PA+PB的最大值;
②若直线PA和直线PB与x轴分别交于点G、H,且∠PGH=∠PHG,O为坐标原点,试判断直线OP和AB是否平行?请说明理由.
分析:(1)由已知中圆C过点P(1,1),且圆M:(x+2)2+(y+2)2=r2(r>0)关于直线x+y+2=0对称,我们可以求出圆C的方程,然后判断圆心距CM与两圆半径和与差的关系,即可得到答案.
(2)由(1)中圆的方程可得P点在圆C上,故l1、l2即PA,PB为过P点的两条弦,
①设l1、l2被圆C所截得弦的中点分别为E、F,弦长分别为d1,d2,由直线PA和直线PB互相垂直可得四边形OEPF是矩形,即OE2+OF2=OP2=2,进而根据半弦长,弦心距,圆半径构造直角三角形,满足勾股定理,得到d12+d22=8,进而由基本不等式,得到d1+d2,即PA+PB的最大值;
另外,也可以分类讨论,分别讨论直线PA与PB中有一条直线的斜率不存在和直线PA与PB斜率都存在,且互为负倒数,两种情况下PA+PB的值,最后综合讨论结果得到答案.
②由已知中直线PA和直线PB与x轴分别交于点G、H,且∠PGH=∠PHG,可得直线PA和直线PB的斜率存在,且互为相反数,设PA:y-1=k(x-1),PB:y-1=-k(x-1),求出A,B坐标后,代入斜率公式,判断直线OP和AB是否相等,即可得到答案.
解答:解(1)设圆心C(a,b),则
a-2
2
+
b-2
2
+2=0
b+2
a+2
=1
,解得
a=0
b=0
…(2分)
则圆C的方程为x2+y2=r2,将点P的坐标代入得r2=2,故圆C的方程为x2+y2=2
∴CM=2
2
,又两半径之和为2
2
,∴圆M与圆C外切.…(4分)
(2)令l1、l2即PA,PB为过P点的两条弦
①设l1、l2被圆C所截得弦的中点分别为E、F,弦长分别为d1,d2,因为四边形OEPF是矩形,
所以OE2+OF2=OP2=2,即(2-(
d1
2
)
2
)
+(2-(
d2
2
)
2
)
=2,化简得d12+d22=8…(9分)
从而d1+d2
2
d
2
1
+
d
2
2
=4,(d1=d2时取等号,此时直线PA,PB必有一条斜率不存在)
综上:l1、l2被圆C所截得弦长之和的最大值为4…(10分)
另解:若直线PA与PB中有一条直线的斜率不存在,
则PA=PB=2,此时PA+PB=4.…(5分)
若直线PA与PB斜率都存在,且互为负倒数,故可设PA:y-1=k(x-1),即kx-y+1=0,(k≠0)
点C到PA的距离为
|k+1|
1+k2
,同理可得点C到PB的距离为
|k-1|
1+k2

∴PA+PB=2(
2-
(1-k)2
k2+1
+
2-
(1+k)2
k2+1
)…(8分)
∴(PA+PB)2=4(2+2|1-
2
k2+1
|)<16,∴PA+PB<4 …(9分)
综上:l1、l2被圆C所截得弦长之和的最大值为4…(10分)
②直线OP和AB平行,理由如下:
由题意知,直线PA和直线PB的斜率存在,且互为相反数,故可设PA:y-1=k(x-1),
PB:y-1=-k(x-1),由
y-1=k(x-1)
x2+y2=2
,得(1+k2)x2+2k(1-k)x+(1-k)2-2=0
因为P的横坐标x=1一定是该方程的解,故可得xA=
k2-2k-1
1+k2
…(12分)
同理,所以xB=
k2+2k-1
1+k2
,kAB=
yB-yA
xB-xA
=
-k(xB-1)-k(xA-1)
xB-xA
=
2k-k(yB+yA)
xB-xA
=1=kOP…(15分)
所以,直线AB和OP一定平行.…(16分)
(说明:解答题方法不唯一时,评分参照执行.)
点评:本题考查的知识点是直线和圆的方程的应用,点到直线的距离公式,关于直线对称的圆的方程,圆与圆位置关系及其判定,其中根据已知条件求出圆C的方程是解答本题的关键.
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