Question

如图，O是半径为2的球的球心，点A．B．C在球面上，OA．OB．OC两两垂直，E．F分别是大圆的弧AB与AC的中点．

(1)求证：EF∥面OBC；

(2)求多面体OAEBCF的体积；

(3)建立适当的空间直角坐标系，求的坐标，并求异面直线OF和CE的夹角的余弦值．

Answer 1

答案：
解析：

　　(1)过E作EG⊥AO于G，连结FG，则FG⊥AO，所以EG∥BO；FG∥CO，

　　又EG∩FG＝G，∴面EFG∥面BCO，∵EF面EFG，∴EF∥面OBC．　　4分

　　(2)易求得

　　设CF的延长线交OA的延长线于P，BE的延长线交OA的延长线于Q

　　由对称性知P，Q重合，即多面体EFG－BCO是台体，　　6分

　　，则多面体OAEBCF的体积是

　　　　8分

　　(3)分别以OB．OC．OA为轴建立空间直角坐标系，则

　　∴　　10分

　　∴

　　∴异面直线OF和CE的夹角的余弦值为　　12分