题目内容
【题目】已知定义域为的函数
的图象为曲线
,曲线
在点
的切线为
(其中
).
(Ⅰ)求实数的值;
(Ⅱ)证明:(i);
(ii).
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)(
)证明见解析,(ii)证明见解析
【解析】
(Ⅰ)根据导数的几何意义可写出曲线在
处的切线方程,进而求得实数
的值;
(Ⅱ)(i)令,对
求导,利用导数求函数
的单调性,即可得证;
(ii)当时,证明
,构造
,求导得到单调区间,计算最值得证,即
,联合(i)中结论得到答案.
(Ⅰ),于是
,
所以曲线在
处的切线方程为
,
整理得,所以可得
.
(Ⅱ)证明:()令
,则
,
易知当时,
单调递增;当
时,
单调递减,
所以,所以
.
(ii)由(Ⅰ)可知,令
,则
,
所以在
上单调递减,在
上单调递增,
所以,所以
在
上单调递增,
所以.
因为过点
,且
在
处的切线方程为
,
故可猜测:
当时,
的图象恒在切线
的上方.
下证:当时,
.
设,则
,
令,则
,/p>
所以在
上单调递减,在
上单调递增,
又,所以
,
所以存在,使得
,
所以当时,
;当
时,
,
故在
上单调递增,在
上单调递减,在
上单调递增,
又,所以
,当且仅当
时取等号,
故.
又由(i)可得,即
,当且仅当
时,等号成立.
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