题目内容

本小题满分12分)

如图,在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中,E、F分别为棱AB和BC的中点,EF交BD于H。

   (1)求二面角B1—EF—B的正切值;

   (2)试在棱B1B上找一点M,使D1M⊥平面EFB1,并证明你的结论.

 

【答案】

解:(1)连AC、B1H,则EF//AC,

∵AC⊥BD,所以BD⊥EF。

∵B1B⊥平面ABCD,所以B1H⊥EF,

∴∠B1HB为二面角B1—EF—B的平面角。                …………2分

 

故二面角B1—EF—B的正切值为       …………4分

   (2)在棱B1B上取中点M,连D1M、C1M。

∵EF⊥平面B1BDD1

所以EF⊥D1M。                                         …………6分

在正方形BB1C1C中,因为M、F分别为BB1、BC的中点,

∴B1F⊥C1M  又因为D1C1⊥平面BCC1B1,所以B1F⊥D1C1

所以B1F⊥D1M,

∴D1M⊥平面EFB1                                      …………8分

   (3)设D1M与平面EFB1交于点N,则D1N为点D1到平面EFB1的距离。

在Rt△MB1D1中,                       …………10分

故点D1到平面EFB1的距离为                           …………12分

解二:(1)在正方体中,以DA、DC、DD1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系

    ………………2分

设平面EFB1的一个法向量为

故二面角B1—EF—B的正切值为                …………6分

   (2)设

                        …………12分

 

【解析】略

 

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