Question

已知函数f（x）=

a

a2-1

(ax-a-x)，其中a＞0，a≠1
（1）写出f（x）的奇偶性与单调性（不要求证明）；
（2）若函数y=f（x）的定义域为（-1，1），求满足不等式f（1-m）+f（1-m²）＜0的实数m的取值集合；
（3）当x∈（-∞，2）时，f（x）-4的值恒为负，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由于函数f（x）的定义域为R，且满足f（-x）=-f（x），可得函数f（x）为奇函数．分当a＞1和当0＜a＜1两种情况，分别根据

a

a2-1

的符号，及函数a^x-a^-x的单调性，可得函数f（x）的单调性．
（2）由题意可得 f（1-m）＜-f（1-m²）=f（m²-1），故有

-1＜1-m＜1 -1＜1-m2＜1 1-m＜m2-1

，由此解得m的范围．
（3）要使f（x）-4的值恒为负，只要f（2）-4≤0，即

a2+1

a

≤4，由此求得a的范围．

解答：解：（1）由于函数f（x）=

a

a2-1

(ax-a-x)，其中a＞0，a≠1，它的定义域为R，
再根据f（-x）=

a

a2-1

•（a^-x-a^x）=-

a

a2-1

(ax-a-x)=-f（x），
故函数f（x）为奇函数．
当a＞1时，

a

a2-1

＞0，且函数a^x-a^-x为增函数，故此时函数f（x）为增函数．
当 0＜a＜1时，

a

a2-1

＞0，且函数a^x-a^-x为减函数，故此时函数f（x）为增函数．
（2）由于函数y=f（x）的定义域为（-1，1），故由不等式f（1-m）+f（1-m²）＜0，
可得 f（1-m）＜-f（1-m²）=f（m²-1），
∴

-1＜1-m＜1 -1＜1-m2＜1 1-m＜m2-1

，解得 1＜m＜

2

．
（3）由于函数f（x）在（-∞，2）上单调递增，要使f（x）-4的值恒为负，
只要f（2）-4≤0，即

a

a2-1

（a²-a^-2）-4≤0，即

a2+1

a

≤4．
解得 2-

3

≤a≤2+

3

，且a≠1，即a的范围[2-

3

，1）、（1，2+

3

]．

点评：本题主要考查函数的单调性和奇偶性，利用函数的单调性解不等式，属于基础题．