Question

选修4—1：几何证明选讲

D、E分别为△ABC的边AB、AC上的点，且不与△ABC的顶点重合。已知AE的长为，AC的长为,AD、AB的长是关于的方程的两个根。

（1）证明：C、B、D、E四点共圆；

（2）若∠A=90°，，且，求C、B、D、E所在圆的半径。

Answer 1

（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中，

                

即.又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ACB  因此∠ADE=∠ACB                                 

 所以C,B,D,E四点共圆。

（Ⅱ）m=4, n=6时，方程x²-14x+mn=0的两根为x₁=2,x₂=12.故  AD=2，AB=12.

取CE的中点G,DB的中点F，分别过G,F作AC，AB的垂线，两垂线相交于H点，连接DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH.

由于∠A=90⁰，故GH∥AB, HF∥AC. HF=AG=5，DF= （12-2）=5.

故C,B,D,E四点所在圆的半径为5