Question

【题目】如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形， 底面ABCD，SA=2，M为SA的中点．

（1）求异面直线AB与MD所成角的大小；
（2）求直线AS与平面SCD所成角的正弦值；
（3）求平面SAB与平面SCD所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：在平面ABCD中，过点A作AF⊥AB，交CD与F，

以A为原点，AB，AF，AS所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，

A（0，0，0），B（1，0，0），M（0，0，1），D（﹣ ， ，0），

=（1，0，0）， =（﹣ ， ，﹣1），

设异面直线AB与MD所成角为α，

则cosα= = = ，

∴ ．

∴异面直线AB与MD所成角为

（2）解：S（0，0，2），C（1﹣ ， ，0），

=（0，0，2）， =（1﹣ ， ，﹣2）， =（﹣ ， ，﹣2），

设平面SCD的法向量 =（x，y，z），

则 ，取z=1，得 =（0，2 ，1），

设直线AS与平面SCD所成角为β，

则sinβ=|cos＜ ＞|= = = ，

∴直线AS与平面SCD所成角的正弦值为

（3）解：∵平面SCD的法向量 =（0，2 ，1），

平面SAB的法向量 =（0，1，0），

∴cos＜ ＞= = ，

∴平面SAB与平面SCD所成锐二面角的余弦值为 ．

【解析】（1）在平面ABCD中，过点A作AF⊥AB，交CD与F，以A为原点，AB，AF，AS所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AB与MD所成角．（2）求出平面SCD的法向量，利用向量法能求出直线AS与平面SCD所成角的正弦值．（3）求出平面SCD的法向量和平面SAB的法向量，利用向量法能求出平面SAB与平面SCD所成锐二面角的余弦值．
【考点精析】认真审题，首先需要了解异面直线及其所成的角(异面直线所成角的求法：1、平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；2、补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系)，还要掌握空间角的异面直线所成的角(已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则)的相关知识才是答题的关键．