Question

【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn ． 已知a1=2，Sn+1=4an+2．
（1）设bn=an+1﹣2an ， 证明数列{bn}是等比数列；
（2）求数列{an}的通项公式．

Answer 1

【答案】
（1）解：由S2=4a1+2有a1+a2=4a1+2，解得a2=3a1+2=8，

故a2﹣2a1=4，

又an+2=Sn+2﹣Sn+1=4an+1+2﹣（4an+2）=4an+1﹣4an，

于是an+2﹣2an+1=2（an+1﹣2an），

因此数列{an+1﹣2an}是首项为4，公比为2的等比数列．

因为bn=an+1﹣2an，

所以数列{bn}是等比数列

（2）解：由（1）可得an+1﹣2an=4×2n﹣1=2n+1，

于是 ﹣ =1，

因此数列{ }是以1为首项，以1为公差的等差数列，

所以 =1+n﹣1=n，

所以an=n2n

【解析】（1）由已知推导出数列{an+1﹣2an}是首项为4，公比为2的等比数列，问题得以证明；（2）由an+1﹣2an=2n+1 ， 得到数列{ }是以1为首项，以1为公差的等差数列，问题得以解决．
【考点精析】解答此题的关键在于理解等比数列的通项公式（及其变式）的相关知识，掌握通项公式：，以及对数列的通项公式的理解，了解如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．