Question

已知函数f（x）=x³+ax+b的图象是曲线C，直线y=kx+1与曲线C相切于点（1，3）．
（I）求函数f（x）的解析式；
（II）求函数f（x）的递增区间；
（III）求函数F（x）=f（x）-2x-3在区间[0，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

解：（I）∵切点为（1，3），∴k+1=3，得k=2．
∵f'（x）=3x²+a，
∴f'（1）=3+a=2，得a=-1．
则f（x）=x³-x+b．
由f（1）=3得b=3．
∴f（x）=x³-x+3．

（II）由f（x）=x³-x+3得f'（x）=3x²-1，
令f'（x）=3x²-1＞0，解得或
∴函数f（x）的增区间为，．
（III）F（x）=x³-3x，F'（x）=3x²-3
令F'（x）=3x²-3=0，得x₁=-1，x₂=1．
列出x，F'（x），F（x）关系如下：

∴当x∈[0，2]时，F（x）的最大值为2，最小值为-2．
分析：（I）先通过切点，求出k的值；再利用f（x）的导函数和切点求出a，b的值．最后代入即可得f（x）的解析式．
（II）通过在函数的单调递增区间，函数f（x）的导函数大于零，求出x的取值范围．
（III）通过函数F（x）的导函数F'（x）=0，求出函数的极值．列出x，F'（x），F（x）关系表，通过观察可知F（x）在区间[0，2]最大和最小值．
点评：本题主要考查了用待定系数法求函数的解析式．解此类题常用到导函数与函数的关系来解决问题．