题目内容
【题目】已知函数对任意实数,都满足,且,,当时,.
(1)判断函数的奇偶性;
(2)判断函数在上的单调性,并给出证明;
(3)若,求实数a的取值范围.
【答案】(1)为奇函数;(2)在上单调递减,证明见解析;(3).
【解析】
(1)令,代入抽象函数表达式即可证明函数的奇偶性;
(2)先证明当时,,再利用已知和单调函数的定义,证明函数在上的单调性,根据函数的奇偶性,即可得到函数在上的单调性;
(3)先利用赋值法求得再利用函数的单调性解不等式即可
解:(1)令,则.
∵,∴
∴函数为奇函数;
(2)函数在上单调递减.
证明如下:
由函数为奇函数得
当时,,,
所以当时,,
设,则,∴,
于是,
所以函数在上单调递减.
∵函数为奇函数,∴函数在上单调递减.
(3)∵,且,∴
又∵函数为奇函数,∴
∵,∴,函数在上单调递减.
又当时,.
∴,即,
故的取值范围为.
练习册系列答案
相关题目
【题目】为调查乘客的候车情况,公交公司在某为台的名候车乘客中随机抽取人,将他们的候车时间(单位:分钟)作为样本分成组,如下表所示:
组别 | 候车时间 | 人数 |
一 | ||
二 | ||
三 | ||
四 | ||
五 |
(1)求这名乘客的平均候车时间;
(2)估计这名候车乘客中候车时间少于分钟的人数;
(3)若从上表第三、四组的人中随机抽取人作进一步的问卷调查,求抽到的两人恰好来自不同组的概率.