Question

已知双曲线E：

x2

24

-

y2

12

=1的左焦点为F，左准线l与x轴的交点是圆C的圆心，圆C恰好经过坐标原点O，设G是圆C上任意一点．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）若直线FG与直线l交于点T，且G为线段FT的中点，求直线FG被圆C所截得的弦长；
（Ⅲ）在平面上是否存在定点P，使得对圆C上任意的点G有

|GF|

|GP|

=

1

2

？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用左准线l与x轴的交点是圆C的圆心，确定圆心坐标，又圆C恰好经过坐标原点O，可求圆的半径，从而可求圆C的方程；
（Ⅱ）设出G（-5，y_G）代入圆C的方程求出y_G，进而求出FG的方程，利用点到直线的距离公式求出C（-4，0）到FG的距离，再利用勾股定理即可求出弦长的一半进而可求解；
（Ⅲ）假设存在P（s，t），G（x₀，y₀），利用两点间的距离公式化简，结合G在圆C上，即可求得结论．

解答：解：（Ⅰ）由双曲线E：

x2

24

-

y2

12

=1，得l：x=-4，C（-4，0），F（-6，0）．…（2分）
又圆C过原点，所以圆C的方程为（x+4）²+y²=16．   …（4分）
（Ⅱ）由题意，设G（-5，y_G），代入（x+4）²+y²=16，得yG=±

15

，…（5分）
所以FG的斜率为k=±

15

，FG的方程为y=±

15

(x+6)．…（6分）
所以C（-4，0）到FG的距离为d=

15

2

，…（7分）
直线FG被圆C截得的弦长为2

16-( 15 2 )2

=7…（9分）
（Ⅲ）设P（s，t），G（x₀，y₀），则由

|GF|

|GP|

=

1

2

，得

(x0+6)2+ y 2 0

(x0-s)2+(y0-t)2

1

2

整理得3（x₀²+y₀²）+（48+2s）x₀+2ty₀+144-s²-t²=0．①…（11分）
又G（x₀，y₀）在圆C：（x+4）²+y²=16上，所以x₀²+y₀²+8x₀=0   ②
②代入①，得（2s+24）x₀+2ty₀+144-s²-t²=0．…（13分）
又由G（x₀，y₀）为圆C上任意一点可知，

2s+24=0 2t=0 144-s2-t2=0

…（14分）
解得：s=-12，t=0．…（15分）
所以在平面上存在一定点P，其坐标为（-12，0）．  …（16分）

点评：本题考查圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系，考查弦长公式，考查恒成立问题，解题的关键是假设存在，建立等式，利用恒成立的条件．