Question

已知双曲线

x2

2

-y2=1的两焦点为F₁，F₂，P为动点，若PF₁+PF₂=4．
（Ⅰ）求动点P的轨迹E方程；
（Ⅱ）若A₁（-2，0），A₂（2，0），M（1，0），设直线l过点M，且与轨迹E交于R、Q两点，直线A₁R与A₂Q交于点S．试问：当直线l在变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条定直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）根据双曲线的方程为：

x2

2

-y²=1，则|FF₂|=2

3

，|PF₁|+|PF₂|=4＞|FF₂|，由此知点P的轨迹E是以F₁，F₂为焦点且长轴长为4的椭圆，并能求出其方程．
（II）对于存在性问题，可先假设存在，假设存在满足条件的直线l在变化时，点S是否恒在一条定直线上，设直线a的方程为x=my+1，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用条件即可求得直线的方程，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．

解答：解：（Ⅰ）由题意知：F1(-

3

，0)，F(

3

，0)，
又∵PF₁+PF₂=4，
∴动点P（x，y）必在以F₁，F₂为焦点，长轴长为4的椭圆，∴a=2，
又∵c=

3

，b²=a²-c²=1．
∴椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1．
（Ⅱ）由题意，可设直线l为：x=my+1．
取m=0，得R(1，

3

2

)，Q(1，-

3

2

)，直线A₁R的方程是y=

3

6

x+

3

3

，5
直线A₂Q的方程是y=

3

2

x-

3

，交点为S1(4，

3

)．
若R(1，-

3

2

)，Q(1，

3

2

)，由对称性可知交点为S2(4，-

3

)．
若点S在同一条直线上，则直线只能为?：x=4．
以下证明对于任意的m，直线A₁R与直线A₂Q的交点S均在直线?：x=4上．
事实上，由

x2 4 +y2=1 x=my+1

，得（my+1）²+4y²=4，即（m²+4）y²+2my-3=0，
记R（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则y1+y2=

-2m

m2+4

，y1y2=

-3

m2+4

．
设A₁R与?交于点S₀（4，y₀），由

y0

4+2

=

y1

x1+2

，得y0=

6y1

x1+2

．
设A₂Q与?交于点S₀^′（4，y₀^′），由

y0′

4-2

=

y2

x2-2

，得y0′=

2y2

x2-2

．
∵y0-y0′=

6y1

x1+2

-

2y2

x2-2

=

6y1(my2-1)-2y2(my1+3)

(x1+2)(x2-2)

=

4my1y2-6(y1+y2)

(x1+2)(x2-2)

=

-12m m2+4 - -12m m2+4

(x1+2)(x2-2)

=0，
∴y₀=y₀^′，即S₀与S₀^′重合，
这说明，当m变化时，点S恒在定直线?：x=4上．

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．