题目内容

给出下列命题:
①函数y=
x2-8x+20
+
x2+1
的最小值为5;
②若直线y=kx+1与曲线y=|x|有两个交点,则k的取值范围是-1≤k≤1;
③若直线m被两平行线l1:x-y+1=0与l2:x-y+3=0所截得的线段的长为2
2
,则m的倾斜角可以是15°或75°
④设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和,若对任意n∈N*,均有Sn>0,则数列{Sn}是递增数列
⑤设△ABC的内角A.B.C所对的边分别为a,b,c,若三边的长为连续的三个正整数,且A>B>C,3b=20acosA则sinA:sinB:sinC为6:5:4
其中所有正确命题的序号是
①③④⑤
①③④⑤
分析:①化y=
x2-8x+20
+
x2+1
=
(x-4)2+4
+
x2+1
=
(x-4)2+(0-2)2
+
(x-0)2+[0-(-1)]2
,几何意义为x轴上点(x,0)到两定点(4,2),(0,-1)距离.数形结合求出最小值.
②在同一坐标系内作出y=kx+1与y=|x|的图象,可知当k=±1时,有一个交点.
③先求两平行线间的距离,结合题意直线m被两平行线l1与l2所截得的线段的长为2
2
,求出直线m与l1的夹角为30°,推出结果.
④a1=S1>0,若d<0,则数列数列{an}为递减数列,总存在n∈N*,使得Sn<0,假设不成立.
⑤由题意可得三边即 a、a-1、a-2,由余弦定理可得 cosA=
a-5
2(a-2)
,再由3b=20acosA,可得 cosA=
3b
20a
=
3a-3
20a
,从而可得
a-5
2(a-2)
=
3a-3
20a
,由此解得a=6,可得三边长,根据sinA:sinB:sinC=a:b:c,求得结果
解答:解:①y=
x2-8x+20
+
x2+1
=
(x-4)2+4
+
x2+1
=
(x-4)2+(0-2)2
+
(x-0)2+[0-(-1)]2

即求x轴上点(x,0)到两定点(4,2),(0,-1)距离和的最小值 而两点位于x轴的两侧,所以最小值即两点的距离最短
(4-0)2+(2+1)2
=5
①正确
②在同一坐标系内作出y=kx+1与y=|x|的图象,可知当k=±1时,有一个交点.②错误

③两平行线间的距离为d=
|3-1|
1+1
=2
2

由图知直线m与l1的夹角为30°,l1的倾斜角为45°,
所以直线m的倾斜角等于30°+45°=75°或45°-30°=15°.③正确
④若对任意n∈N*,均有Sn>0,则a1=S1>0,若d<0,则数列数列{an}为递减数列,总存在n∈N*,使得Sn<0,假设不成立,必有d>0,数列{Sn}是递增数列.④正确.
⑤由于a,b,c 三边的长为连续的三个正整数,且A>B>C,可设三边长分别为 a、a-1、a-2.
由余弦定理可得 cosA=
a-5
2(a-2)
,又3b=20acosA,可得 cosA=
3b
20a
=
3a-3
20a

从而可得
a-5
2(a-2)
=
3a-3
20a
,解得a=6,故三边分别为6,5,4.
由正弦定理可得 sinA:sinB:sinC=a:b:c=a:(a-1):( a-2)=6:5:4,⑤正确
综上所述,正确答案序号为①③④⑤
故答案为:①③④⑤
点评:本题以命题真假的判断为载体,着重考查了函数最值,图象与性质,两条直线夹角,数列的单调性,正弦定理、余弦定理的应用.属于中档题.
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