题目内容
给出下列命题:
①函数y=
+
的最小值为5;
②若直线y=kx+1与曲线y=|x|有两个交点,则k的取值范围是-1≤k≤1;
③若直线m被两平行线l1:x-y+1=0与l2:x-y+3=0所截得的线段的长为2
,则m的倾斜角可以是15°或75°
④设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和,若对任意n∈N*,均有Sn>0,则数列{Sn}是递增数列
⑤设△ABC的内角A.B.C所对的边分别为a,b,c,若三边的长为连续的三个正整数,且A>B>C,3b=20acosA则sinA:sinB:sinC为6:5:4
其中所有正确命题的序号是
①函数y=
x2-8x+20 |
x2+1 |
②若直线y=kx+1与曲线y=|x|有两个交点,则k的取值范围是-1≤k≤1;
③若直线m被两平行线l1:x-y+1=0与l2:x-y+3=0所截得的线段的长为2
2 |
④设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和,若对任意n∈N*,均有Sn>0,则数列{Sn}是递增数列
⑤设△ABC的内角A.B.C所对的边分别为a,b,c,若三边的长为连续的三个正整数,且A>B>C,3b=20acosA则sinA:sinB:sinC为6:5:4
其中所有正确命题的序号是
①③④⑤
①③④⑤
.分析:①化y=
+
=
+
=
+
,几何意义为x轴上点(x,0)到两定点(4,2),(0,-1)距离.数形结合求出最小值.
②在同一坐标系内作出y=kx+1与y=|x|的图象,可知当k=±1时,有一个交点.
③先求两平行线间的距离,结合题意直线m被两平行线l1与l2所截得的线段的长为2
,求出直线m与l1的夹角为30°,推出结果.
④a1=S1>0,若d<0,则数列数列{an}为递减数列,总存在n∈N*,使得Sn<0,假设不成立.
⑤由题意可得三边即 a、a-1、a-2,由余弦定理可得 cosA=
,再由3b=20acosA,可得 cosA=
=
,从而可得
=
,由此解得a=6,可得三边长,根据sinA:sinB:sinC=a:b:c,求得结果
x2-8x+20 |
x2+1 |
(x-4)2+4 |
x2+1 |
(x-4)2+(0-2)2 |
(x-0)2+[0-(-1)]2 |
②在同一坐标系内作出y=kx+1与y=|x|的图象,可知当k=±1时,有一个交点.
③先求两平行线间的距离,结合题意直线m被两平行线l1与l2所截得的线段的长为2
2 |
④a1=S1>0,若d<0,则数列数列{an}为递减数列,总存在n∈N*,使得Sn<0,假设不成立.
⑤由题意可得三边即 a、a-1、a-2,由余弦定理可得 cosA=
a-5 |
2(a-2) |
3b |
20a |
3a-3 |
20a |
a-5 |
2(a-2) |
3a-3 |
20a |
解答:解:①y=
+
=
+
=
+
即求x轴上点(x,0)到两定点(4,2),(0,-1)距离和的最小值 而两点位于x轴的两侧,所以最小值即两点的距离最短
=5①正确
②在同一坐标系内作出y=kx+1与y=|x|的图象,可知当k=±1时,有一个交点.②错误
③两平行线间的距离为d=
=2
,
由图知直线m与l1的夹角为30°,l1的倾斜角为45°,
所以直线m的倾斜角等于30°+45°=75°或45°-30°=15°.③正确
④若对任意n∈N*,均有Sn>0,则a1=S1>0,若d<0,则数列数列{an}为递减数列,总存在n∈N*,使得Sn<0,假设不成立,必有d>0,数列{Sn}是递增数列.④正确.
⑤由于a,b,c 三边的长为连续的三个正整数,且A>B>C,可设三边长分别为 a、a-1、a-2.
由余弦定理可得 cosA=
,又3b=20acosA,可得 cosA=
=
从而可得
=
,解得a=6,故三边分别为6,5,4.
由正弦定理可得 sinA:sinB:sinC=a:b:c=a:(a-1):( a-2)=6:5:4,⑤正确
综上所述,正确答案序号为①③④⑤
故答案为:①③④⑤
x2-8x+20 |
x2+1 |
(x-4)2+4 |
x2+1 |
(x-4)2+(0-2)2 |
(x-0)2+[0-(-1)]2 |
即求x轴上点(x,0)到两定点(4,2),(0,-1)距离和的最小值 而两点位于x轴的两侧,所以最小值即两点的距离最短
(4-0)2+(2+1)2 |
②在同一坐标系内作出y=kx+1与y=|x|的图象,可知当k=±1时,有一个交点.②错误
③两平行线间的距离为d=
|3-1| | ||
|
2 |
由图知直线m与l1的夹角为30°,l1的倾斜角为45°,
所以直线m的倾斜角等于30°+45°=75°或45°-30°=15°.③正确
④若对任意n∈N*,均有Sn>0,则a1=S1>0,若d<0,则数列数列{an}为递减数列,总存在n∈N*,使得Sn<0,假设不成立,必有d>0,数列{Sn}是递增数列.④正确.
⑤由于a,b,c 三边的长为连续的三个正整数,且A>B>C,可设三边长分别为 a、a-1、a-2.
由余弦定理可得 cosA=
a-5 |
2(a-2) |
3b |
20a |
3a-3 |
20a |
从而可得
a-5 |
2(a-2) |
3a-3 |
20a |
由正弦定理可得 sinA:sinB:sinC=a:b:c=a:(a-1):( a-2)=6:5:4,⑤正确
综上所述,正确答案序号为①③④⑤
故答案为:①③④⑤
点评:本题以命题真假的判断为载体,着重考查了函数最值,图象与性质,两条直线夹角,数列的单调性,正弦定理、余弦定理的应用.属于中档题.
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