Question

11．已知|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=1，$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角为60°．
 （1）求$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{b}$方向上的投影；
（2）若$\overrightarrow{c}$=λ$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{d}$=$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$的夹角为锐角，求λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由向量的投影的概念，计算即可得到；
（2）由题意可得$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{d}$＞0，且$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{d}$不共线，运用向量的数量积的定义和性质，以及向量共线的条件，计算即可得到所求范围．

解答 解：（1）|$\overrightarrow{a}$|cos60°=1×$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，
即有$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{b}$方向上的投影为$\frac{1}{2}$；
（2）由题意可得$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{d}$＞0，且$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{d}$不共线，
由（λ$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）＞0，
即为λ$\overrightarrow{a}$²+2$\overrightarrow{b}$²+（2λ+1）$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$＞0，
即λ+2+$\frac{1}{2}$（2λ+1）＞0，
解得λ＞-$\frac{5}{4}$，
由$\overrightarrow{c}$=λ$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{d}$=$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$共线，可得λ=$\frac{1}{2}$，
即有λ的取值范围是λ＞-$\frac{5}{4}$且λ≠$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查向量的投影的定义，考查向量的夹角为锐角的条件为$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{d}$＞0，且$\overrightarrow{c}$，$\overrightarrow{d}$不共线，考查运算能力，属于中档题．