题目内容
20.已知函数f(x)=loga(1-x)-loga(1+x)(a>0且a≠1)(1)试判断函数f(x)的奇偶性,并说明理由;
(2)若m,n∈(-1,1),求证:f(m)+f(n)=f($\frac{m+n}{1+mn}$).
分析 (1)先求出f(x)的定义域为(-1,1),然后求f(-x),比较f(x)便可得出该函数的奇偶性;
(2)分别求出f(m)+f(n),$f(\frac{m+n}{1+mn})$,并进行对数的运算,便可证出f(m)+f(n)=$f(\frac{m+n}{1+mn})$.
解答 解:(1)解$\left\{\begin{array}{l}{1-x>0}\\{1+x>0}\end{array}\right.$得,-1<x<1;
f(-x)=loga(1+x)-loga(1-x)=-f(x);
∴f(x)为奇函数;
(2)证明:m,n∈(-1,1);
∴f(m)+f(n)=loga(1-m)-loga(1+m)+loga(1-n)-loga(1+n)=$lo{g}_{a}\frac{1+mn-m-n}{1+mn+m+n}$;
$f(\frac{m+n}{1+mn})=lo{g}_{a}(1-\frac{m+n}{1+mn})-lo{g}_{a}(1+\frac{m+n}{1+mn})$=$lo{g}_{a}\frac{1+mn-m-n}{1+mn+m+n}$;
∴$f(m)+f(n)=f(\frac{m+n}{1+mn})$.
点评 考查函数奇偶性的定义及其判断方法,已知函数求值,以及对数的运算.
练习册系列答案
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