题目内容
△ABC中，角A、B、C所对边分别为a、b、c，AH为BC边上的高，给出以下四个结论：
①若a=1，b=
，则“A=
”是“B=
”成立的充分不必要条件；
②
•(
-
)=0；
③
•(
-
)=b2+c2-2bccosA；
④
•(
+
)=
•
，
其中所有真命题的序号是
①若a=1，b=
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
②
| AH |
| AC |
| AB |
③
| BC |
| AB |
| AC |
④
| AH |
| AB |
| BC |
| AH |
| AB |
其中所有真命题的序号是
②④
②④
．分析：①利用充分条件和必要条件的定义进行判断．②利用数量积的应用判断．
③利用数量积以及余弦定理判断．④利用数量积的应用判断．
③利用数量积以及余弦定理判断．④利用数量积的应用判断．
解答：解：①由正弦定理得
=
，即sinB=
sinA，若A=
，sinB=
sinA=
，所以B=
或
．
反之，若B=
，则sinA=
，所以A=
．所以“A=
”是“B=
”成立的必要不充分条件．所以①错误．
②因为AH为BC边上的高，所以
?(
-
)=
?
=0，所以②正确．
③
?(
-
)=
?
=-|
|2=-a2，所以由余弦定理得③错误．
④
?(
+
)=
?
+
?
=
?
，所以④正确．
故答案为：②④．
| a |
| sinA |
| b |
| sinB |
| 3 |
| π |
| 6 |
| 3 |
| ||
| 2 |
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
反之，若B=
| π |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
②因为AH为BC边上的高，所以
| AH |
| AB |
| AC |
| AH |
| CB |
③
| BC |
| AB |
| AC |
| BC |
| CB |
| BC |
④
| AH |
| AB |
| AC |
| AH |
| AB |
| AH |
| BC |
| AH |
| AB |
故答案为：②④．
点评：本题主要考查平面向量的数量积的应用，要求熟练掌握．
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