Question

如图，已知椭圆

x2

4

+

y2

4 3

=1的弦PB过其中心O，点A是椭圆的右顶点，满足

PA

•

PB

=0，|

PB

|=2|

PA

|．
（Ⅰ）求点P的坐标；
（Ⅱ）若椭圆上存在两点C、D（异于A、B两点），且(

PC

| PC |

+

PD

| PD |

)•

OA

=0，问是否存在实数λ使得

AB

=λ

CD

，说明理由．

Answer 1

分析：（I）设出P的坐标，则题意知△OPA是以P为直角顶点为直角三角形，得到关于x，y的方程组，解得P的坐标．
（II）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在λ，使得

AB

=λ

CD

，设直线PC：y-1=k（x-1），将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，解方程组即可求得C，D的坐标，利用斜率公式从而解决问题．

解答：解：（I）由题意知△OPA是以P为直角顶点为直角三角形，设P（x，y），
则

x2 4 + y2 4 3 =1&  x2+y2=(x-2)2+y2

解得

x=1 y=1

，
即点P为（1，1）…（5分）
（II）存在λ，使得

AB

=λ

CD

，
由(

PC

| PC |

+

PD

| PD |

)•

OA

=0知∠CPD的平分线垂直于OA，
则k_PC=-k_PD∵（1，1），则直线PC：y-1=k（x-1），
联立方程组

y-1=k(x-1) x2 4 + y2 4 3 =1

解得C(

3k2-6k-1

3k2+1

，

-3k2-2k+1

3k2+1

)
直线PD：y-1=-k（x-1），
易得D(

3k2+6k-1

3k2+1

，

-3k2+2k+1

3k2+1

)
∴kCD=

-3k2-2k+1 3k2+1

3k2-6k-1 3k2+1

-

3k2+2k+1 3k2+1

3k2+6k-1 3k2+1

=

1

3

又P（1，1），则B（-1，-1）∴kAB=

1

3

，∴CD=AB
故存在λ使

AB

=λ

CD

…（14分）

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的关系．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．