题目内容

如图,已知椭圆
+y2=1的焦点为F
1、F
2,点P为椭圆上任意一点,过F
2作∠F
1PF
2的外角平分线的垂线,垂足为点Q,过点Q作y轴的垂线,垂足为N,线段QN的中点为M,则点M的轨迹方程为
.
分析:点F2关于∠F1PF2的外角平分线PQ的对称点Q′在直线F1P的延长线上,故|F1Q′|=|PF1|+|PF2|=2a(椭圆长轴长),又OQ是△F2F1Q′的中位线,故|OQ|=a,由此可以求点M的轨迹方程.
解答:解:点F
2关于∠F
1PF
2的外角平分线PQ的对称点Q′在直线F
1P的延长线上,故|F
1Q′|=|PF
1|+|PF
2|=2a(椭圆长轴长),
又OQ是△F2F1Q′的中位线,故|OQ|=2,
设M(x,y),则Q(2x,y),
所以有4x
2+y
2=4,
故答案为
+x2=1.
点评:本题主要应用角分线的性质解决问题,从而转化为利用椭圆的定义,同时解题中利用了代入法求轨迹方程.
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