Question

9．设函数f（x）=ln（1+|x|）-$\frac{1}{1+{x}^{2}}$，则使得f（x）＞f（2x-1）成立的取值范围是（　　）

• A． （-∞，$\frac{1}{3}$）∪（1，+∞）
• B． （$\frac{1}{3}$，1）
• C． （$-\frac{1}{3}，\frac{1}{3}$）
• D． （-∞，-$\frac{1}{3}$，）$∪（\frac{1}{3}，+∞）$

Answer 1

分析 根据函数的奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化即可得到结论．

解答 解：∵函数f（x）=ln（1+|x|）-$\frac{1}{1{+x}^{2}}$为偶函数，
且在x≥0时，f（x）=ln（1+x）-$\frac{1}{1{+x}^{2}}$，
导数为f′（x）=$\frac{1}{1+x}$+$\frac{2x}{{（1{+x}^{2}）}^{2}}$＞0，
即有函数f（x）在[0，+∞）单调递增，
∴f（x）＞f（2x-1）等价为f（|x|）＞f（|2x-1|），
即|x|＞|2x-1|，
平方得3x²-4x+1＜0，
解得：$\frac{1}{3}$＜x＜1，
所求x的取值范围是（$\frac{1}{3}$，1）．
故选：B．

点评 本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，综合考查函数性质的综合应用，运用偶函数的性质是解题的关键．