题目内容
10.已知f(m)=(3m-1)a+b-2m,当m∈[0,1]时,f(m)≤1恒成立,则a+b的最大值是$\frac{7}{3}$.分析 把已知函数解析式变形,结合当m∈[0,1]时,f(m)≤1恒成立,得到关于a,b的约束条件,然后利用线性规划知识求得a+b的最大值.
解答 解:f(m)=(3m-1)a+b-2m=(3a-2)m-a+b,
∵当m∈[0,1]时,f(m)≤1恒成立,
∴$\left\{\begin{array}{l}{f(0)=-a+b≤1}\\{f(1)=2a+b-2≤1}\end{array}\right.$,即$\left\{\begin{array}{l}{a-b+1≥0}\\{2a+b-3≤0}\end{array}\right.$.
画出可行域如图,
联立$\left\{\begin{array}{l}{a-b+1=0}\\{2a+b-3=0}\end{array}\right.$,解得A($\frac{2}{3},\frac{5}{3}$),
令z=a+b,化为b=-a+z,
由图可知,当直线b=-a+z过A时,直线在y轴上的截距最大,z有最大值为$\frac{2}{3}+\frac{5}{3}=\frac{7}{3}$.
故答案为:$\frac{7}{3}$.
点评 本题考查函数恒成立问题,考查了数学转化思想方法,训练了利用线性规划知识求最值,是中档题.
练习册系列答案
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②f(x+y)=f(x)+f(y)
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④f(xy)=f(x)+f(y)
①f(x+y)=f(x)f(y)
②f(x+y)=f(x)+f(y)
③f(xy)=f(x)f(y)
④f(xy)=f(x)+f(y)
A. | ② | B. | ④ | C. | ①④ | D. | ②③ |
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