Question

18．已知抛物线E：y²=x，
（Ⅰ）设点P在抛物线E上，若点P到直线y=x+1的距离最小，求点P的坐标；
（Ⅱ）对于定点m（x₀，y₀），直线l：y₀y=$\frac{x+{x}_{0}}{2}$称为点M关于抛物线y²=x的伴随直线，设M（2，1）的伴随直线为l，过M作直线交抛物线E于A、B两点，再过A、B分别作l的垂线，垂足分别为A₁，B₁，求证：$\frac{|A{A}_{1}|}{|B{B}_{1}|}=\frac{|AM|}{|BM|}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设出P点坐标，由点到直线的距离公式写出P到直线距离，然后利用配方法求得距离的最小值，并求得使距离最小的P的坐标；
（Ⅱ）由新定义得到M（2，1）的伴随直线方程，画出图形，把$\frac{|A{A}_{1}|}{|B{B}_{1}|}=\frac{|AM|}{|BM|}$转化为A、B两点的坐标间的关系，再设出AB的直线方程，联立抛物线和直线方程，由根与系数关系证得答案．

解答 （Ⅰ）解：设P（x，y）则$d=\frac{|x-y+1|}{\sqrt{2}}=\frac{|{y}^{2}-y+1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}|（y-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}|≥\frac{3\sqrt{2}}{8}$．
当y=$\frac{1}{2}$时，d取最小值，此时，P（$\frac{1}{4}，\frac{1}{2}$）；
（Ⅱ）证明：M（2，1）的伴随直线为l：x-2y+2=0，则抛物线在l的下方，
$\frac{|A{A}_{1}|}{|B{B}_{1}|}=\frac{{x}_{1}-2{y}_{1}+2}{{x}_{2}-2{y}_{2}+2}$=$\frac{{{y}_{1}}^{2}-2{y}_{1}+2}{{{y}_{2}}^{2}-2{y}_{2}+2}$，$\frac{|MA|}{|MB|}=\frac{{y}_{1}-1}{1-{y}_{2}}$，显然AB不垂直y轴，
设AB所在直线方程为m（y-1）=x-2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立方程$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=x}\\{x=my+2-m}\end{array}\right.$，得到y²-my+m-2=0，
则y₁+y₂=m，y₁y₂=m-2，
要证$\frac{|A{A}_{1}|}{|B{B}_{1}|}=\frac{|AM|}{|BM|}$，即证$\frac{{{y}_{1}}^{2}-2{y}_{1}+2}{{{y}_{2}}^{2}-2{y}_{2}+2}=\frac{{y}_{1}-1}{1-{y}_{2}}$，
也就是证$（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4（{y}_{1}+{y}_{2}）-{y}_{1}{y}_{2}（{y}_{1}+{y}_{2}-2）+4=0$，
即证m²-4m-（m-2）²+4=0，
此式显然成立．

点评 本题是新定义题，考查了直线与抛物线的关系，训练了点到直线距离公式的应用，考查了利用配方法求最值，体现了数学转化思想方法，是难题．