Question

已知函数f（x）=log_a（x+b）（其中a，b为常数，且a＞0，a≠1）的图象经过点A（1，2），B（-1，1）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函数g（x）=（

a

b

）^2x-（

a

b

）^x-1，x∈[0，+∞），求g（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）把A（1，2），B（-1，1）．代入函数f（x）=log_a（x+b），解得a和b的值，即可求得函数f（x）的解析式．
（2）由（1）知g(x)=(

2

3

)2x-(

2

3

)x-1，x∈[0，+∞)．令t=(

2

3

)x，0＜t≤1，可得g(t)=t2-t-1=(t-

1

2

)2-

5

4

，t∈(0，1]，再利用二次函数的性质
求得g（t）的最值，即可得到它的值域．

解答：解：（1）把A（1，2），B（-1，1）．代入f（x）=log_a（x+b）得

2=loga(1+b) 1=loga(-1+b)

．
结合a＞0，a≠1，解得a=2，b=3，故f（x）=log₂（x+3）．…（5分）
（2）由（1）知a=2，b=3，∴g(x)=(

2

3

)2x-(

2

3

)x-1，x∈[0，+∞)．
令t=(

2

3

)x，0＜t≤1，∴g(t)=t2-t-1=(t-

1

2

)2-

5

4

，t∈(0，1]，
当t=

1

2

时g（t）取最小值-

5

4

；当t=1时，g（t）取最大值-1．
因此g（t）的值域为[-

5

4

，-1]．…（12分）

点评：本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，对数函数的退昂和性质的综合应用，利用二次函数的性质求函数的最值，属于中档题．