Question

 (本小题满分12分)  如图所示，已知圆为圆上一动点，点在上，点在上，且满足的轨迹为曲线.

（1）求曲线的方程；

（2）过点且斜率为k的动直线交曲线于A、B两点，在y轴上是否存在定点G，满足使四边

形为矩形？若存在，求出G的坐标和四边形面积的最大值；若不存

在，说明理由。

Answer 1

解：Ⅰ）

∴NP为AM的垂直平分线，∴|NA|=|NM|.…………………………2分

又

∴动点N的轨迹是以点C（－1，0），A（1，0）为焦点的椭圆.

且椭圆长轴长为焦距2c=2.   ……………4分

∴曲线E的方程为………………5分

   （2）动直线的方程为：

由得

设

则       …………6分

假设在y上存在定点G（0，m），满足题设，则

由假设得对于任意的恒成立，

即解得m=1。

因此，在y轴上存在定点G，使得以AB为直径的圆恒过这个点，

点G的坐标为（0，1）              …………9分

这时，点G到AB的距离

设则

得

所以

当且仅当时，上式等号成立。

因此，面积的最大值是              …………12分