Question

已知函数f（x）=xe^x，其中x∈R．
（Ⅰ）求曲线f（x）在点（x₀，x₀e^x₀）处的切线方程
（Ⅱ）如果过点（a，b）可作曲线y=f（x）的三条切线
（1）当-2＜a＜0时，证明：-

1

e2

（a+4）＜b＜f（a）；
（2）当a＜-2时，写出b的取值范围（不需要书写推证过程）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求出导函数f′（x），利用导数的几何意义求出斜率k，根据点斜式即可求得曲线f（x）在点（x₀，x₀e^x₀）处的切线方程；
（Ⅱ）（1）切线过点（a，b），则存在x₀，使b=（x₀+1）e^x₀a-x₀²e^x0，若过点（a，b）可作曲线y=f（x）的三条切线，则方程（x₀²-ax₀-a）e^x₀+b=0有三个相异的实数根，记g（x₀）=（x₀²-ax₀-a）e^x₀+b，利用导数求出g（x₀）的极值，得到极大值大于0，极小值小于0列出不等式，求出解集即可得证；
（2）方法同（1），可求出b的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=xe^x，
∴f′（x）=（x+1）e^x，
∴曲线f（x）在点（x₀，x₀e^x₀）处的切线的斜率k=f′（x₀）=（x₀+1）e^x₀，
由点斜式写出切线方程为y-x₀e^x₀=（x₀+1）e^x₀（x-x₀），即y=（x₀+1）e^x₀x-x₀²e^x0．
（Ⅱ）（1）如果切线过点（a，b），则存在x₀，使b=（x₀+1）e^x₀a-x₀²e^x0．
于是，若过点（a，b）可作曲线y=f（x）的三条切线，则方程（x₀²-ax₀-a）e^x₀+b=0有三个相异的实数根．
记g（x₀）=（x₀²-ax₀-a）e^x₀+b，则g'（x₀）=[x₀²+（2-a）x₀-2a]e^x₀，
令g'（x₀）=0，解得x₀=-2，或x₀=a∈（-2，0）
当x₀∈（-∞，-2），（a，+∞）时g'（x₀）＞0，
当x₀∈（-2，a）时g'（x₀）＜0，
∴当x₀=-2时，g（x₀）取极大值，当x₀=a时，g（x₀）取极小值，
如果过（a，b）可作曲线y=f（x）三条切线，即g（x₀）=0有三个相异的实数根，则

g(-2)＞0 g(a)＜0

即

(4+a)e-2+b＞0 -aea+b＜0

，则

b＞- 1 e2 (a+4) b＜aea=f(a)

，
即-

1

e2

（a+4）＜b＜f（a）；
（2）令g'（x₀）=0，解得x₀=-2，或x₀=a∈（-∞，-2）
当x₀∈（-∞，a），（-2，+∞）时g'（x₀）＞0，
当x₀∈（a，-2）时g'（x₀）＜0，
∴当x₀=a时，g（x₀）取极大值，当x₀=-2时，g（x₀）取极小值，
如果过（a，b）可作曲线y=f（x）三条切线，即g（x₀）=0有三个相异的实数根，则

g(-2)＜0 g(a)＞0

即f（a）＜b＜-

1

e2

（a+4）．

点评：本题考查了导数的几何意义，及利用导数研究曲线上某点切线方程，以及利用导数求函数的最值问题．属于导数的综合应用题．属于难题．