题目内容
13.求下列函数的值域:(1)y=$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}+1}$;
(2)y=x-$\sqrt{1-2x}$;
(3)y=$\sqrt{x-1}+\frac{1}{\sqrt{x-1}}$(x>1);
(4)y=$\frac{1}{\sqrt{x-{x}^{2}}}$.
分析 (1)由函数式,解得x2,令x2≥0,即可得到值域;(2)求得定义域,运用函数的单调性,可得值域;
(3)运用基本不等式,可得值域;运用二次函数的值域求法,可得所求值域.
解答 解:(1)y=$\frac{{x}^{2}-1}{{x}^{2}+1}$,即为x2=$\frac{-1-y}{y-1}$,
由x2≥0,解得-1≤y<1.
即值域为[-1,1);
(2)y=x-$\sqrt{1-2x}$(x≤$\frac{1}{2}$),
由y=x,y=-$\sqrt{1-2x}$在(-∞,$\frac{1}{2}$]递增,
即有函数y=x-$\sqrt{1-2x}$在(-∞,$\frac{1}{2}$]递增,则y≤$\frac{1}{2}$,
故值域为(-∞,$\frac{1}{2}$];
(3)由x>1,即x-1>0,
则y=$\sqrt{x-1}$+$\frac{1}{\sqrt{x-1}}$≥2,
当x=2时,取得最小值2.
则值域为[2,+∞);
(4)由x-x2=-(x-$\frac{1}{2}$)2+$\frac{1}{4}$≤$\frac{1}{4}$,
可得0<$\sqrt{x-{x}^{2}}$≤$\frac{1}{2}$,
则y≥2,
即有值域为[2,+∞).
点评 本题考查函数的值域的求法,注意运用单调性和基本不等式等方法,考查运算能力,属于中档题.
练习册系列答案
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