题目内容
已知函数
(1)求函数f(x)的表达式;
(2)若数列xn的项满足xn=[1-f(1)]•[1-f(2)]•…•[1-f(n)],试求x1,x2,x3,x4;
(3)猜想数列xn的通项,并用数学归纳法证明.
【答案】分析:(1)由已知中函数
,且f(1)=log162,f(-2)=1.我们可以构造关于a,b的方程,解方程求出a,b的值,即得到函数f(x)的表达式;
(2)根据xn=[1-f(1)]•[1-f(2)]•…•[1-f(n)],我们分别令n=1,2,3,4,即可法求出x1,x2,x3,x4;
(3)根据(2)中数列的前4项,分析他们之间呈现的规律,归纳推理后,即可得到数列xn的通项公式,然后利用数学归纳法,即可证明结论.
解答:解:(1)∵
,且f(1)=log162,f(-2)=1.
∴
=log162=
,
=1
解得:
∴函数
(2)由(1)中
∴xn=[1-f(1)]•[1-f(2)]•…•[1-f(n)],
当n=1时,
.
当n=2时,
,
当n=3时,
,
当n=4时,
(3)由(2)中结论我们易得:
.
当n=1时,结论显然成立
设n=k时,结论成立,即
则当n=k+1时,
=
=
即n=k+1时,结论也成立.
故
.
点评:本题考查的知识点是函数解析式的求出及数学归纳法,数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质,其步骤为:设P(n)是关于自然数n的命题,若1)(奠基) P(n)在n=1时成立;2)(归纳) 在P(k)(k为任意自然数)成立的假设下可以推出P(k+1)成立,则P(n)对一切自然数n都成立.

(2)根据xn=[1-f(1)]•[1-f(2)]•…•[1-f(n)],我们分别令n=1,2,3,4,即可法求出x1,x2,x3,x4;
(3)根据(2)中数列的前4项,分析他们之间呈现的规律,归纳推理后,即可得到数列xn的通项公式,然后利用数学归纳法,即可证明结论.
解答:解:(1)∵

∴



解得:

∴函数

(2)由(1)中

∴xn=[1-f(1)]•[1-f(2)]•…•[1-f(n)],
当n=1时,

当n=2时,

当n=3时,

当n=4时,

(3)由(2)中结论我们易得:

当n=1时,结论显然成立
设n=k时,结论成立,即

则当n=k+1时,



即n=k+1时,结论也成立.
故

点评:本题考查的知识点是函数解析式的求出及数学归纳法,数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质,其步骤为:设P(n)是关于自然数n的命题,若1)(奠基) P(n)在n=1时成立;2)(归纳) 在P(k)(k为任意自然数)成立的假设下可以推出P(k+1)成立,则P(n)对一切自然数n都成立.

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