题目内容
已知函数
，且f（1）=2，
（1）求a、b的值；
（2）判断函数f（x）的奇偶性；
（3）判断f（x）在（1，+∞）上的单调性并加以证明．
【答案】分析：（1）依题意有
，联立方程可求a，b
（2）先判断函数
的定义域是否关于原点对称，然后检验f（-x）与f（x）的关系即可
（3）设x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2…，然后通过作差，变形比较f（x1），f（x2）的大小即可判断函数的单调性
解答：解：（1）依题意有
，…（2分）
得
…（4分）
（2）
的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称，…（5分）
∵
∴函数f（x）为奇函数． …（7分）
（3）f（x）在（1，+∞）上是增函数，证明如下
设x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2…（8分）
∵x1，x2∈（1，+∞）且x1＜x2∴x1-x2＜0，x1x2＞1，x1x2-1＞0…（12分）
∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）…（13分）
∴f（x）在（1，+∞）上是增函数． …（14分）
点评：本题主要考查了利益待定系数法求解函数的解析式，及函数的奇偶性、单调性的判断，属于函数基础知识的综合应用．
，联立方程可求a，b（2）先判断函数
的定义域是否关于原点对称，然后检验f（-x）与f（x）的关系即可（3）设x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2…，然后通过作差，变形比较f（x1），f（x2）的大小即可判断函数的单调性
解答：解：（1）依题意有
，…（2分） 得
…（4分）（2）
的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）关于原点对称，…（5分）∵
∴函数f（x）为奇函数． …（7分）
（3）f（x）在（1，+∞）上是增函数，证明如下
设x1，x2∈（1，+∞），且x1＜x2…（8分）
∵x1，x2∈（1，+∞）且x1＜x2∴x1-x2＜0，x1x2＞1，x1x2-1＞0…（12分）
∴f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）…（13分）
∴f（x）在（1，+∞）上是增函数． …（14分）
点评：本题主要考查了利益待定系数法求解函数的解析式，及函数的奇偶性、单调性的判断，属于函数基础知识的综合应用．
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