Question

12．对于函数y=x²-（a+1）x+a²，如果关于x的不等式y＜0有解．
（1）求a的取值范围：；
（2）求函数在[-1，1]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）由于关于x的不等式x²-（a+1）x+a²＜0有解．可得△＞0，解出即可．
（2）由$-\frac{1}{3}＜a＜1$，可得$\frac{1}{3}＜\frac{a+1}{2}＜1$．y=f（x）=x²-（a+1）x+a²=$（x-\frac{a+1}{2}）^{2}$+$\frac{3{a}^{2}-2a-1}{4}$．（x∈[-1，1]）．可得函数f（x）在$[-1，\frac{a+1}{2}]$单调递减；函数f（x）在$[\frac{a+1}{2}，1]$单调递增．比较f（-1）与f（1）即可得出．

解答 解：（1）∵关于x的不等式x²-（a+1）x+a²＜0有解．
∴△=（a+1）²-4a²＞0，化为$（a+\frac{1}{3}）（a-1）$＜0，
解得$-\frac{1}{3}＜a＜1$，
∴a的取值范围是$（-\frac{1}{3}，1）$．
（2）∵$-\frac{1}{3}＜a＜1$，∴$\frac{1}{3}＜\frac{a+1}{2}＜1$．
y=f（x）=x²-（a+1）x+a²=$（x-\frac{a+1}{2}）^{2}$+$\frac{3{a}^{2}-2a-1}{4}$．（x∈[-1，1]）．
∴函数f（x）在$[-1，\frac{a+1}{2}]$单调递减；函数f（x）在$[\frac{a+1}{2}，1]$单调递增．
又f（-1）=a²+a+2，f（1）=a²-a，
f（-1）-f（1）=2a+2＞0，
∴f（-1）＞f（1），
∴当x=-1时，函数f（x）取得最大值a²+a+2．

点评 本题考查了二次函数的单调性、一元二次不等式的解法，考查了数形结合的思想方法、推理能力与计算能力，属于中档题．