Question

【题目】已知椭圆与轴，轴的正半轴分别交于A，B两点，原点O到直线AB的距离为该椭圆的离心率为

（1）求椭圆的方程

（2）是否存在过点P（的直线与椭圆交于M，N两个不同的点，使成立？若存在，求出的方程；若不存在，说明理由。

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在符合条件的直线的方程为．

【解析】

试题（1）由题意得，直线的方程为由及，得即可求出椭圆的方程为；（2），.①

当直线的斜率不存在时，，，易知符合条件，此时直线的方程为当直线的斜率存在时，设直线的方程为，代入得

由韦达定理即可求出结果.

试题解析：解：（1）由题意得，直线的方程为（1分）

由及，得（3分）

所以椭圆的方程为（4分）

（2），. ① （6分）

当直线的斜率不存在时，，，易知符合条件，此时直线的方程为（8分）

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，代入得

由，解得.

设，则， ②

， ③ （10分）

由①得④

由②③④消去，得，即，无解.

综上存在符合条件的直线（12分）.