题目内容

如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°．点E、F分别在边CD、CB上，点E与点C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O．沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面POA；
（Ⅱ）当PB取得最小值时，请解答以下问题：
（i）求四棱锥P-BDEF的体积；
（ii）若点Q满足=λ （λ＞0），试探究：直线OQ与平面PBD所成角的大小是否一定大于？并说明理由．
【答案】分析：（Ⅰ）利用菱形ABCD的对角线互相垂直证明BD⊥AO，证明PO⊥平面ABFED，可得PO⊥BD，利用线面垂直的判定，可得BD⊥平面POA；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系O-xyz．（ⅰ）设AO∩BD=H，PO=x，则=（ 2-x，2，-x），从而确定PB的最小值，进而可得四棱锥P-BDEF的体积；
（ⅱ）确定的坐标，求出平面PBD的法向量，利用向量的夹角公式可求直线OQ与平面PBD所成的角，从而可得结论成立．
解答：（Ⅰ）证明：∵菱形ABCD的对角线互相垂直，
∴BD⊥AC，∴BD⊥AO，
∵EF⊥AC，∴PO⊥EF．
∵平面PEF⊥平面ABFED，平面PEF∩平面ABFED=EF，且PO?平面PEF，
∴PO⊥平面ABFED，
∵BD?平面ABFED，∴PO⊥BD．
∵AO∩PO=O，∴BD⊥平面POA．…（4分）
（Ⅱ）如图，以O为原点，建立空间直角坐标系O-xyz．（5分）
（ⅰ）设AO∩BD=H．因为∠DAB=60°，所以△BDC为等边三角形，
故BD=4，HB=2，HC=2．
又设PO=x，则OH=2-x，OA=4-x．
所以O（0，0，0），P（0，0，x），B（2-x，2，0），
故=（ 2-x，2，-x），（6分）
所以||=，
∴当x=时，|PB|min=．
此时PO=，OH=（7分）
由（Ⅰ）知，PO⊥平面ABFED，所以=3．（8分）
（ⅱ）设点Q的坐标为（a，0，c），由（i）知，OP=，则A（3，0，0），B（，2，0），D（，-2，0），P（0，0，）．
所以，（9分）
∵=λ （λ＞0），
∴，∴．
∴Q（，），
∴=（）．    （10分）
设平面PBD的法向量为，则．
∵，∴，
取x=1，解得：y=0，z=1，所以．（11分）
设直线OQ与平面PBD所成的角θ，
∴sinθ=|cos|==．（12分）
又∵λ＞0∴sinθ＞．（13分）
∵θ∈[0，]，∴θ＞．
因此直线OQ与平面PBD所成角大于，即结论成立． （14分）
点评：本题考查线面垂直，考查线面角，考查利用空间向量解决立体几何问题，确定平面的法向量是关键．
练习册系列答案
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AE
•
BD
的值为
4
4
．
（2012•福州模拟）如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°．点E、F分别在边CD、CB上，点E与点C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O．沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面POA；
（Ⅱ）记三棱锥P-ABD体积为V1，四棱锥P-BDEF体积为V2．求当PB取得最小值时的V1：V2值．
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（1）求证：BD⊥平面POA
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AQ
=
QP
，求直线OQ与平面PBD所成角的正弦值．
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（1）求证：BD⊥平面POA；
（2）记三棱锥P-ABD体积为V1，四棱锥P-BDEF体积为V2，且
V1
V2
=
4
3
，求此时线段PO的长．

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