题目内容
如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°．点E、F分别在边CD、CB上，点E与点C、D不重合，EF⊥AC，EF∩AC=O．沿EF将△CEF翻折到△PEF的位置，使平面PEF⊥平面ABFED．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面POA；
（Ⅱ）当PB取得最小值时，请解答以下问题：
（i）求四棱锥P-BDEF的体积；
（ii）若点Q满足
=λ
（λ＞0），试探究：直线OQ与平面PBD所成角的大小是否一定大于
？并说明理由．
【答案】分析：（Ⅰ）利用菱形ABCD的对角线互相垂直证明BD⊥AO，证明PO⊥平面ABFED，可得PO⊥BD，利用线面垂直的判定，可得BD⊥平面POA；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系O-xyz．（ⅰ）设AO∩BD=H，PO=x，则
=（ 2
-x，2，-x），从而确定PB的最小值，进而可得四棱锥P-BDEF的体积；
（ⅱ）确定
的坐标，求出平面PBD的法向量
，利用向量的夹角公式可求直线OQ与平面PBD所成的角，从而可得结论成立．
解答：
（Ⅰ）证明：∵菱形ABCD的对角线互相垂直，
∴BD⊥AC，∴BD⊥AO，
∵EF⊥AC，∴PO⊥EF．
∵平面PEF⊥平面ABFED，平面PEF∩平面ABFED=EF，且PO?平面PEF，
∴PO⊥平面ABFED，
∵BD?平面ABFED，∴PO⊥BD．
∵AO∩PO=O，∴BD⊥平面POA．…（4分）
（Ⅱ）如图，以O为原点，建立空间直角坐标系O-xyz．（5分）
（ⅰ）设AO∩BD=H．因为∠DAB=60°，所以△BDC为等边三角形，
故BD=4，HB=2，HC=2
．
又设PO=x，则OH=2
-x，OA=4
-x．
所以O（0，0，0），P（0，0，x），B（2
-x，2，0），
故
=（ 2
-x，2，-x），（6分）
所以|
|=
，
∴当x=
时，|PB|min=
．
此时PO=
，OH=
（7分）
由（Ⅰ）知，PO⊥平面ABFED，所以
=3．（8分）
（ⅱ）设点Q的坐标为（a，0，c），由（i）知，OP=
，则A（3
，0，0），B（
，2，0），D（
，-2，0），P（0，0，
）．
所以
，（9分）
∵
=λ
（λ＞0），
∴
，∴
．
∴Q（
，
），
∴
=（
）． （10分）
设平面PBD的法向量为
，则
．
∵
，∴
，
取x=1，解得：y=0，z=1，所以
．（11分）
设直线OQ与平面PBD所成的角θ，
∴sinθ=|cos
|=
=
．（12分）
又∵λ＞0∴sinθ＞
．（13分）
∵θ∈[0，
]，∴θ＞
．
因此直线OQ与平面PBD所成角大于
，即结论成立． （14分）
点评：本题考查线面垂直，考查线面角，考查利用空间向量解决立体几何问题，确定平面的法向量是关键．
（Ⅱ）建立空间直角坐标系O-xyz．（ⅰ）设AO∩BD=H，PO=x，则
=（ 2-x，2，-x），从而确定PB的最小值，进而可得四棱锥P-BDEF的体积；（ⅱ）确定
的坐标，求出平面PBD的法向量，利用向量的夹角公式可求直线OQ与平面PBD所成的角，从而可得结论成立．解答：
（Ⅰ）证明：∵菱形ABCD的对角线互相垂直，∴BD⊥AC，∴BD⊥AO，
∵EF⊥AC，∴PO⊥EF．
∵平面PEF⊥平面ABFED，平面PEF∩平面ABFED=EF，且PO?平面PEF，
∴PO⊥平面ABFED，
∵BD?平面ABFED，∴PO⊥BD．
∵AO∩PO=O，∴BD⊥平面POA．…（4分）
（Ⅱ）如图，以O为原点，建立空间直角坐标系O-xyz．（5分）
（ⅰ）设AO∩BD=H．因为∠DAB=60°，所以△BDC为等边三角形，
故BD=4，HB=2，HC=2
．又设PO=x，则OH=2
-x，OA=4-x．所以O（0，0，0），P（0，0，x），B（2
-x，2，0），故
=（ 2-x，2，-x），（6分）所以|
|=，∴当x=
时，|PB|min=．此时PO=
，OH=（7分）由（Ⅰ）知，PO⊥平面ABFED，所以
=3．（8分）（ⅱ）设点Q的坐标为（a，0，c），由（i）知，OP=
，则A（3，0，0），B（，2，0），D（，-2，0），P（0，0，）．所以
，（9分）∵
=λ （λ＞0），∴
，∴．∴Q（
，），∴
=（）． （10分）设平面PBD的法向量为
，则．∵
，∴，取x=1，解得：y=0，z=1，所以
．（11分）设直线OQ与平面PBD所成的角θ，
∴sinθ=|cos
|==．（12分）又∵λ＞0∴sinθ＞
．（13分）∵θ∈[0，
]，∴θ＞．因此直线OQ与平面PBD所成角大于
，即结论成立． （14分）点评：本题考查线面垂直，考查线面角，考查利用空间向量解决立体几何问题，确定平面的法向量是关键．
练习册系列答案
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