Question

【题目】设数列{an}的前n项和为Sn,数列{Sn}的前n项和为Tn,满足Tn=2Sn-n2,n∈N*.
（1）求a1的值;
（2）求数列{an}的通项公式.

Answer 1

【答案】
（1）解: 由题意a1=S1=T1,Tn=2Sn-n2,

令n=1得a1=2a1-1,∴a1=1.

（2）解: 由Tn=2Sn-n2①

得Tn-1=2Sn-1-(n-1)2(n≥2)②

①-②得Sn=2an-2n+1(n≥2),

验证n=1时也成立.

∴Sn=2an-2n+1③

则Sn-1=2an-1-2(n-1)+1(n≥2)④

③-④得an=2an-2an-1-2,

即an+2=2(an-1+2),

故数列{an+2}是公比为2的等比数列,首项为3,

所以an+2=3·2n-1,从而an=3·2n-1-2.

【解析】（1）根据T1=S1=a1即可求出a1；（2）根据Sn=得到Sn与an的关系式，再根据an=得到an与an-1的关系式，利用待定系数法构造特殊数列即可求解.
【考点精析】根据题目的已知条件，利用数列的通项公式的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．