题目内容
设函数f（x）=x（
）x+
，A0为坐标原点，A为函数y=f（x）图象上横坐标为n（n∈N*） 的点，向量
=
，向量
=（1，0），设θn为向量
与向量
的夹角，满足
tanθk＜
的最大整数n是（ ）
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| x+1 |
| an |
| n |
 |
| k=1 |
| Ak-1Ak |
| i |
| an |
| i |
| n |
|
| k=1 |
| 5 |
| 3 |
分析：由题意知An=（n，f（n）），
=
，则θn为直线A0An的倾斜角，所以tanθn=
=(
)n+
，由此能求出满足
tanθk＜
的最大整数n．
| an |
| A0An |
| f(n) |
| n |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| n(n+1) |
| n |
|
| k=1 |
| 5 |
| 3 |
解答：解：由题意知An=（n，f（n）），
=
，则θn为直线A0An的倾斜角，
所以tanθn=
=(
)n+
，
所以tanθ1=1，θ1=
，
tanθ2=
，tanθ3=
，tanθ4=
，
则有 1+
+
=
＜
＜
=
+
，
故满足要求的最大整数n是3．
故选B．
| an |
| A0An |
所以tanθn=
| f(n) |
| n |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| n(n+1) |
所以tanθ1=1，θ1=
| π |
| 4 |
tanθ2=
| 5 |
| 12 |
| 5 |
| 24 |
| 9 |
| 80 |
则有 1+
| 5 |
| 12 |
| 5 |
| 24 |
| 13 |
| 8 |
| 5 |
| 3 |
| 139 |
| 80 |
| 13 |
| 8 |
| 9 |
| 80 |
故满足要求的最大整数n是3．
故选B．
点评：本题考查函数、数列与向量的综合应用，考查向量的夹角公式的运算及正切函数的定义．
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| A、[-5，5] | ||||||||
B、[-
| ||||||||
C、[-
| ||||||||
D、[-
|