Question

6．已知数列$\frac{1}{1×2}$，$\frac{1}{2×3}$，$\frac{1}{3×4}$，…，$\frac{1}{n（n+1）}$，…，
（1）计算s₁、s₂、s₃的值，
（2）猜想s_n公式（无需证明）

Answer 1

分析 根据已知中，$\frac{1}{1×2}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$．分析分母的变化规律，可得$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，进而利用裂项相消法，可得答案．

解答 解：（1）∵$\frac{1}{1×2}=\frac{1}{1}-\frac{1}{2}$，
$\frac{1}{2×3}=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$，
$\frac{1}{3×4}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$．
∴s₁=$\frac{1}{2}$，
s₂=$\frac{2}{3}$，
s₃=$\frac{3}{4}$，
（2）由（1）中，
∴s₁=$\frac{1}{2}$，
s₂=$\frac{2}{3}$，
s₃=$\frac{3}{4}$，
…
归纳可得：s_n=$\frac{n}{n+1}$

点评 归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．