Question

函数f(x)对任意的实数m、n有f(m+n)=f(m)+f(n),且当x＞0时有f(x)＞0.

（1）求证：f(x)在（-∞,+∞)上为增函数；

（2）若f(1)=1,解不等式f［log₂(x²-x-2)］＜2.

Answer 1

（1）证明见解析（2）不等式的解集为{x|-2＜x＜-1或2＜x＜3

解析:

（1）证明  设x₂＞x₁,则x₂-x₁＞0.

∵f(x₂)-f(x₁)=f(x₂-x₁+x₁)-f(x₁)=f(x₂-x₁)+f(x₁)-f(x₁)=f(x₂-x₁)＞0,

∴f(x₂)＞f(x₁),f(x)在（-∞,+∞)上为增函数.

（2）解  ∵f(1)=1,∴2=1+1=f(1)+f(1)=f(2).

又f［log₂(x²-x-2)］＜2,∴f［log₂(x²-x-2)］＜f(2).

∴log₂(x²-x-2)＜2,于是∴

即-2＜x＜-1或2＜x＜3.∴原不等式的解集为{x|-2＜x＜-1或2＜x＜3}.