题目内容
（2012•眉山一模）已知△ABC，角A，B，C的对边分别是a，b，c，向量
=（a，-2b-c），
=（cosA，cosC），且
∥
．
（I）求角A的大小；
（II）求2
cos2
-sin(B-
)的最大值，并求取得最大值时角B，C的大小．
| m |
| n |
| m |
| n |
（I）求角A的大小；
（II）求2
| 3 |
| C |
| 2 |
| π |
| 3 |
分析：（I）利用两个向量共线的性质得acosC+（2b+c）cosA=0，再由正弦定理得sin（A+C）+2sinBcosA=0，由此求出cosA的值，即可得到角A的大小．
（II）由A=
，故 B=
-C，代入要求的式子化简为
+2 sin（C+
），根据C+
的范围，求出 sin（C+
）的最大值，即可得到
+2 sin（C+
）的最大值．
（II）由A=
| 2π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 3 |
| π |
| 3 |
解答：解：（I）∵
∥
，
∴acosC+（2b+c）cosA=0．
由正弦定理可得sinAcosC+（2sinB+sinC）cosA=0，
∴sin（A+C）+2sinBcosA=0．
∴sin（A+C）=sinB，由于sinB≠0，
∴cosA=-
，得A=
．
（II）∵A=
，∴B=
-C，
∴2
cos2
-sin(B-
)=2
•
-sin（-C）=
+
cosC+sinC=
+2 sin（C+
）．
∵0＜C＜
，
∴
＜C+
＜
，
∴当 C+
=
时，即C=
时，2
cos2
-sin(B-
)取得最大值等于
+2．
此时，C=
，B=
．
| m |
| n |
∴acosC+（2b+c）cosA=0．
由正弦定理可得sinAcosC+（2sinB+sinC）cosA=0，
∴sin（A+C）+2sinBcosA=0．
∴sin（A+C）=sinB，由于sinB≠0，
∴cosA=-
| 1 |
| 2 |
| 2π |
| 3 |
（II）∵A=
| 2π |
| 3 |
| π |
| 3 |
∴2
| 3 |
| C |
| 2 |
| π |
| 3 |
| 3 |
| 1+cosC |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
| 3 |
| π |
| 3 |
∵0＜C＜
| π |
| 3 |
∴
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
∴当 C+
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
| 3 |
| C |
| 2 |
| π |
| 3 |
| 3 |
此时，C=
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，两个向量共线的性质，正弦定理、求三角函数的最值，属于中档题．
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